توقّع · جرّب · فسّر

هل يغيّر الإرجاع احتمال السحب؟

عدّ الأزواج الممكنة، واحذف تكرار الكرة نفسها عند عدم الإرجاع. قارن احتمال سحب كرتين خضراوين في الحالتين.

نحو ٨–١٢ دقيقة، ويمكن تقسيمها

تُجهَّز أدوات التجربة عند تفعيل JavaScript.

يمكنك استخدام النشاط على الورق أو هنا دون أدوات تفاعلية. حاول أولًا، ثم افتح المقارنة والتفسير.

١. توقّع احتمال الكرتين الخضراوين

في كيس $5$ كرات: كرتان خضراوان و $3$ كرات برتقالية، متساوية فرصة السحب. نسحب كرتين بالتتابع دون إرجاع الأولى. ما احتمال أن تكون الكرتان خضراوين؟

$4 / 25$
$1 / 10$
$2 / 5$

افتح المقارنة بعد توقّعك

المجموع $5$ ؛ الخضراء $2$ ؛ البرتقالية $3$ . أرقام الخضراء: 1, 2. أرقام البرتقالية: 3, 4, 5.

أرقام العناوين تميّز الكرات: الصف للسحبة الأولى، والعمود للثانية. النقطة داخل الخانة تعني كرتين خضراوين؛ والخانة المتقاطعة مستبعدة، فلا تدخل في المقام. الخانة الفارغة متاحة لكنها لا تحقق هذا الحدث.

مع الإرجاع والخلط

الخانات الناجحة: $4$ ؛ المتاحة: $25$ .

$4 / 25 = 4 / 25$

دون إرجاع

الخانات الناجحة: $2$ ؛ المتاحة: $20$ .

$2 / 20 = 1 / 10$

كل خانة متاحة زوج مرتب من هويتين، وفرص الخانات متساوية داخل كل نموذج. دون الإرجاع نستبعد القطر كله: لا يمكن سحب الكرة نفسها مرتين. النموذجان لهما مقامان مختلفان؛ هذا تعداد كامل، وليس محاكاة عشوائية.

احتمال المسار: خضراء أولى ثم خضراء ثانية
طريقة السحب	الشرط والحساب الدقيق
مع الإرجاع والخلط	احتمال خضراء أولى: $2 / 5$ . احتمال خضراء ثانية، بشرط أن الأولى خضراء: $2 / 5$ . $2 / 5 \times 2 / 5$ $= 4 / 25$
دون إرجاع	احتمال خضراء أولى: $2 / 5$ . احتمال خضراء ثانية، بشرط أن الأولى خضراء: $1 / 4$ . $2 / 5 \times 1 / 4$ $= 1 / 10$

احتمال الكرتين الخضراوين مع الإرجاع ناقص احتمالهما دونه:

$4 / 25 - 1 / 10 = 3 / 50$

يوجد اللونان، ولذلك احتمال هذا الحدث أكبر مع الإرجاع.

لماذا تختلف الاختيارات؟

$4 / 25$
هذا ناتج $2 / 5 \times 2 / 5$ ، وهو صحيح مع إعادة الكرة الأولى والخلط. دون إرجاع، إذا كانت الأولى خضراء، تبقى كرة خضراء واحدة ضمن $4$ كرات. لذلك نضرب $2 / 5$ في $1 / 4$ ، فنحصل على $1 / 10$ .
$1 / 10$
احتمال أن تكون الأولى خضراء هو $2 / 5$ . عند تحقق ذلك، تبقى كرة خضراء واحدة بين $4$ كرات؛ فيكون احتمال المسار $2 / 5 \times 1 / 4 = 1 / 10$ . وبالعدّ: هناك زوجان مرتبان ناجحان من $20$ زوجًا ممكنًا.
$2 / 5$
$2 / 5$ يصف السحبة الأولى فقط. المطلوب أن تكون السحبتان خضراوين. بعد الأولى الخضراء تنخفض الكرات الخضراء إلى واحدة والمجموع إلى $4$ ؛ نضرب احتمال الأولى في احتمال الثانية عند تحقق الأولى.

فسّر التغيّر

في مثال البداية تظهر $4$ خانات ناجحة مع الإرجاع وخانتان دونه. لماذا نحذف خانتين ناجحتين، لكننا نحذف $5$ خانات من جميع النتائج الممكنة؟

قارن تفسيرك

الخانات المحذوفة تقع على القطر: كل واحدة تعني سحب الكرة ذات الهوية نفسها مرتين، وهذا مستحيل دون إرجاع. توجد $5$ هويات، فنحذف $5$ خانات من $25$ . اثنتان من الكرات خضراوان، فتكون خانتان من المحذوفات ناجحتين للحدث المطلوب. يبقى $2$ من $20$ ، أي $1 / 10$ .

٣. جرّب كيسًا جديدًا

في كيس $3$ كرات خضراء وكرة برتقالية واحدة. نسحب مرتين وفق الشروط نفسها. أي زوج يعطي احتمال الكرتين الخضراوين مع الإرجاع، ثم دونه؟

مع الإرجاع $9 / 16$ ، ودونه $1 / 2$
$3 / 4$ في الحالتين
مع الإرجاع $1 / 2$ ، ودونه $9 / 16$

افتح الحل بعد محاولتك

مع الإرجاع نضرب $3 / 4$ في $3 / 4$ فنحصل على $9 / 16$ . دون إرجاع، بعد خضراء أولى تبقى خضراوان ضمن $3$ كرات؛ فنضرب $3 / 4$ في $2 / 3$ ، ويكون الناتج $1 / 2$ . ويمكن عدّ $9$ من $16$ أو $6$ من $12$ .

لماذا تختلف الاختيارات؟

مع الإرجاع $9 / 16$ ، ودونه $1 / 2$
مع الإرجاع نضرب $3 / 4$ في $3 / 4$ فنحصل على $9 / 16$ . دون إرجاع، بعد خضراء أولى تبقى خضراوان ضمن $3$ كرات؛ فنضرب $3 / 4$ في $2 / 3$ ، ويكون الناتج $1 / 2$ . ويمكن عدّ $9$ من $16$ أو $6$ من $12$ .
$3 / 4$ في الحالتين
$3 / 4$ احتمال أن تكون السحبة الأولى خضراء، وليس احتمال الكرتين. مع الإرجاع نضربه في $3 / 4$ ، ودون إرجاع نضربه في $2 / 3$ عند تحقق الخضراء الأولى. فينتج $9 / 16$ و $1 / 2$ .
مع الإرجاع $1 / 2$ ، ودونه $9 / 16$
هذا يعكس الحالتين. الإرجاع يبقي احتمال الخضراء الثانية $3 / 4$ بعد الأولى الخضراء؛ عدمه يجعله $2 / 3$ . الأول أكبر، فيكون احتمال الكرتين $9 / 16$ مع الإرجاع و $1 / 2$ دونه.

٤. حدّد متى يختلف الاحتمالان

ضمن هذا النموذج، متى يزيد الإرجاع احتمال أن تكون الكرتان خضراوين مقارنة بعدمه؟

يزيده في كل كيس، مهما كانت ألوانه
يزيده فقط عندما يتساوى عددا اللونين
يزيده عند وجود اللونين؛ ويتساويان إذا كان الكيس من لون واحد

افتح الحل بعد محاولتك

مع وجود خضراء وبرتقالية، إعادة الخضراء الأولى ترفع فرصة خضراء ثانية مقارنة بإبقائها خارج الكيس. إذا كان الكيس من لون واحد فالاحتمالان $1$ أو $0$ معًا. هذا الحكم لحدث الكرتين الخضراوين هنا؛ لا نعممه على كل حدث، مثل سحب لونين مختلفين.

لماذا تختلف الاختيارات؟

يزيده في كل كيس، مهما كانت ألوانه
إذا كان الكيس كله أخضر فالحدث مؤكد في الحالتين، واحتماله $1$ . وإذا لم توجد كرة خضراء فالحدث مستحيل في الحالتين، واحتماله $0$ . الزيادة الصارمة تحتاج وجود اللونين معًا، لا مجرد استعمال الإرجاع.
يزيده فقط عندما يتساوى عددا اللونين
تساوي العددين ليس شرطًا. في مثال البداية كرتان خضراوان و $3$ برتقالية، ومع ذلك $4 / 25$ أكبر من $1 / 10$ . مع وجود اللونين، إبقاء خضراء مسحوبة خارج الكيس يقلل حصة الخضراء المتبقية.
يزيده عند وجود اللونين؛ ويتساويان إذا كان الكيس من لون واحد
مع وجود خضراء وبرتقالية، إعادة الخضراء الأولى ترفع فرصة خضراء ثانية مقارنة بإبقائها خارج الكيس. إذا كان الكيس من لون واحد فالاحتمالان $1$ أو $0$ معًا. هذا الحكم لحدث الكرتين الخضراوين هنا؛ لا نعممه على كل حدث، مثل سحب لونين مختلفين.

تابع هذا النشاط على الورق

هذه صفحات النشاط داخل الدفتر الكامل. افتح دليل الشرح بعد كتابة توقّعك وحسابك وتفسيرك.

حمّل دفتر التجارب ودليل الشرح

تابع الفكرة في الدرس

المرجع الكمي وأسئلة الاسترجاع

عن النشاط وطريقة التعلّم

نموذج وأسئلة ورسوم وتعليلات أصلية من إعداد هلا سكول. مراجعة تحريرية وتقنية بتاريخ ٢٠٢٦/١٠/٢٦؛ ليست أسئلة رسمية أو محاكاة لنتائج اختبار.

IES: تنظيم التعلّم والتعليم لتحسين تعلّم الطلاب، ٢٠٠٧

استفدنا في تصميم النشاط من الجمع بين الشرح والتمثيل البصري، ومن أسئلة التفسير. هذا تطبيق تصميمي للدليل، وليس دراسة تثبت أثر هذا النشاط على نتائج القدرات.

العودة إلى مختبر الأفكار الكمية