مرجع القدرات الكمي: افهم شروط الفكرة

النسبة والتناسب

هل النسبة بين جزأين أم بين جزء والكل؟

القاعدة والشروط وطريقة التحقق

الفكرة أو القاعدة

في نسبة $2 : 3$ ، المجموع خمسة أجزاء. الجزء الأول يساوي $2 / 5$ من الكل، بينما نسبته إلى الجزء الثاني $2 / 3$ . في التناسب الثابت اضرب الكميتين في المعامل نفسه.

حدود الاستخدام

يلزم تحديد ترتيب الكميتين وثبات العلاقة. رسم ثابت مع سعر لكل قطعة لا يصنع تناسبًا طرديًا بين التكلفة الكلية وعدد القطع.

الوحدة ومعنى الكمية

معدل الوحدة قد يكون ريالًا لكل دفتر أو كيلومترًا لكل ساعة. في مقياس الرسم نوحّد وحدة الطولين قبل كتابة النسبة.

تحقق قبل أن تعتمد الإجابة

أعد تكوين المجموع أو الفرق من الناتج، ثم اختزل نسبة الكميتين وتأكد أنها توافق النسبة المعطاة.

ثلاث محاولات استرجاع

حاول من الذاكرة شفهيًا أو على ورقة، ثم قارن بسبب الإجابة. هذه مراجعة ذاتية بلا درجة؛ عد إليها بعد فاصل لتجرّب دون النظر إلى الشرح.

المحاولة ١

نسبة الأقلام الحمراء إلى الزرقاء $2 : 3$ . ما كسر الأقلام الحمراء من المجموع؟

قارن بعد محاولتك

مجموع الأجزاء $2 + 3 = 5$ ، فالحمراء $2 / 5$ من المجموع. النسبة $2 / 3$ تقارن الحمراء بالزرقاء، لا بالكل.

المحاولة ٢

كميتان نسبتهما $3 : 5$ والفرق بينهما $14$ . أوجد الكميتين وافحص الفرق.

قارن بعد محاولتك

الفرق جزآن؛ قيمة الجزء $14 \div 2 = 7$ . الكميتان $21$ و $35$ ؛ الفرق $14$ والنسبة $21 : 35 = 3 : 5$ .

المحاولة ٣

سعر $4$ دفاتر متماثلة $28$ ريالًا. ما سعر $7$ دفاتر إذا بقي سعر الدفتر ثابتًا؟

قارن بعد محاولتك

سعر الدفتر $28 \div 4 = 7$ ريالات؛ سعر السبعة $7 \times 7 = 49$ ريالًا. يتطلب التناسب ثبات سعر الوحدة وعدم وجود رسم إضافي.

مراجع الفكرة

أمثلة وشروح وأسئلة أصلية من إعداد هلا سكول. المراجع العامة للاستزادة، وليست مصدرًا لأسئلة اختبار رسمي.

أساسيات النسب — Illustrative Mathematics
مرجع تأسيسي باللغة الإنجليزية؛ مجموعة IM القديمة، وليس تدريبًا سعوديًا رسميًا.
Math in Society — التفكير الكمي
كتاب مفتوح باللغة الإنجليزية؛ راجع موضوعات النسب ومعدل الوحدة.

النسبة المئوية والتغير

ما الكمية التي تمثل 100% في هذه الخطوة؟

القاعدة والشروط وطريقة التحقق

الفكرة أو القاعدة

عامل زيادة بنسبة $ن %$ هو $1 + ن / 100$ ، وعامل النقص $1 - ن / 100$ . نضرب الأصل في العامل للوصول إلى الجديد، ونقسم الجديد على العامل غير الصفري لاستعادة الأصل.

حدود الاستخدام

حدّد أساس كل نسبة على حدة. الزيادة المتتابعة أو الخصم المتتابع يُحسبان من القيمة الجديدة في كل خطوة إذا $ن ص$ الموقف على ذلك.

الوحدة ومعنى الكمية

فرق نسبتين مثل $40 %$ و $50 %$ يساوي $10$ نقاط مئوية. أما الزيادة نسبة إلى $40 %$ فهي $25 %$ ؛ السؤالان مختلفان.

تحقق قبل أن تعتمد الإجابة

عوّض بالسعر الأصلي الذي وجدته وأعد تطبيق الخصم أو الزيادة. إذا كان الخصم $100 %$ فلا يمكن استعادة أصل وحيد من السعر الصفري وحده.

ثلاث محاولات استرجاع

حاول من الذاكرة شفهيًا أو على ورقة، ثم قارن بسبب الإجابة. هذه مراجعة ذاتية بلا درجة؛ عد إليها بعد فاصل لتجرّب دون النظر إلى الشرح.

المحاولة ١

زاد سعر $200$ ريال بنسبة $10 %$ ثم نُقص السعر الجديد بنسبة $10 %$ . هل عاد إلى $200$ ؟

قارن بعد محاولتك

لا؛ بعد الزيادة $220$ ، وبعد النقص $198$ . النسبة الثانية تُحسب من $220$ ، ولذلك لا تلغي الأولى.

المحاولة ٢

سعر بعد خصم $25 %$ يساوي $90$ ريالًا. ما السعر قبل الخصم؟

قارن بعد محاولتك

المتبقي $75 %$ من الأصل؛ الأصل $90 \div 0.75 = 120$ ريالًا. والتحقق $120 \times 0.75 = 90$ .

المحاولة ٣

ارتفعت نسبة من $40 %$ إلى $50 %$ . فرّق بين الزيادة بالنقاط المئوية والزيادة النسبية.

قارن بعد محاولتك

الفرق $10$ نقاط مئوية. الزيادة النسبية إلى القيمة القديمة هي $10 \div 40 = 25 %$ ، وليست $10 %$ .

مراجع الفكرة

أمثلة وشروح وأسئلة أصلية من إعداد هلا سكول. المراجع العامة للاستزادة، وليست مصدرًا لأسئلة اختبار رسمي.

معدل الوحدة والنسب المئوية — Illustrative Mathematics
مرجع تأسيسي باللغة الإنجليزية من مجموعة IM القديمة؛ للاستزادة في معنى النسبة.

المتوسط والوزن والوسيط

هل نحتاج المتوسط أم الوسيط، وهل أحجام المجموعات متساوية؟

القاعدة والشروط وطريقة التحقق

الفكرة أو القاعدة

المتوسط يساوي مجموع القيم مقسومًا على عددها؛ وبالعكس، المجموع يساوي المتوسط مضروبًا في العدد. الوسيط هو القيمة الوسطى بعد الترتيب، أو متوسط القيمتين الوسطيتين عند العدد الزوجي.

حدود الاستخدام

يجب ألا يكون عدد القيم صفرًا. عند دمج مجموعات مختلفة العدد، أعد مجموع كل مجموعة قبل القسمة على العدد الكلي.

الوحدة ومعنى الكمية

للمتوسط والوسيط وحدة القيم الأصلية. جمع متوسط زمن مع متوسط مسافة لا ينتج متوسطًا ذا معنى دون تعريف كمية جديدة.

تحقق قبل أن تعتمد الإجابة

يجب أن يقع المتوسط بين أصغر القيم وأكبرها. احسب المجموع من المتوسط الناتج وعدد القيم وافحص اتساقه.

ثلاث محاولات استرجاع

حاول من الذاكرة شفهيًا أو على ورقة، ثم قارن بسبب الإجابة. هذه مراجعة ذاتية بلا درجة؛ عد إليها بعد فاصل لتجرّب دون النظر إلى الشرح.

المحاولة ١

متوسط $6$ قيم هو $9$ . ما مجموعها؟ لماذا تكفي هذه المعلومات؟

قارن بعد محاولتك

المجموع $6 \times 9 = 54$ ؛ لأن المتوسط يساوي المجموع مقسومًا على عدد القيم.

المحاولة ٢

متوسط قيمتين $10$ ، ومتوسط ثلاث قيم أخرى $20$ . ما متوسط القيم الخمس؟

قارن بعد محاولتك

نجمع المجموعين $: 2 \times 10 + 3 \times 20 = 80$ ، ثم $80 \div 5 = 16$ . أخذ متوسط $10$ و $20$ يهمل اختلاف العددين.

المحاولة ٣

القيم المرتبة $2$ ، $4$ ، $6$ ، $8$ ، $30$ . إذا صارت $30$ تساوي $50$ ، فماذا يحدث للوسيط والمتوسط؟

قارن بعد محاولتك

يبقى الوسيط $6$ لأنه القيمة الوسطى. يزيد المجموع $20$ ، فيزيد المتوسط $20 \div 5 = 4$ ، من $10$ إلى $14$ .

مراجع الفكرة

أمثلة وشروح وأسئلة أصلية من إعداد هلا سكول. المراجع العامة للاستزادة، وليست مصدرًا لأسئلة اختبار رسمي.

Math in Society — التفكير الكمي
كتاب مفتوح باللغة الإنجليزية؛ راجع موضوعات النسب ومعدل الوحدة.
البيانات والمتوسط — Illustrative Mathematics
مرجع تأسيسي باللغة الإنجليزية عن وصف البيانات وقياس مركزها.

الأعداد والكسور والتقدير

هل الكميات من الوحدة نفسها، وهل التقدير يؤيد الناتج؟

القاعدة والشروط وطريقة التحقق

الفكرة أو القاعدة

في جمع الكسور نوحّد حجم الجزء، وفي قسمة كسر نضرب في مقلوب المقسوم عليه. مثال $: 1 / 2 + 1 / 3 = 5 / 6$ ، و $2.8 \div 0.4 = 7$ .

حدود الاستخدام

لا تجوز القسمة على الصفر. وحّد وحدات الكميات قبل جمعها أو مقارنتها، واحتفظ بالقيمة الدقيقة إلى أن يُطلب تقريبها.

الوحدة ومعنى الكمية

حوّل الساعات والدقائق أو الأمتار والسنتيمترات إلى وحدة مشتركة. اسم الوحدة جزء من التحقق، لا زينة بعد العدد.

تحقق قبل أن تعتمد الإجابة

قدّر أولًا: مجموع نصف وثلث أكبر من نصف وأصغر من واحد. ثم افحص الناتج بضرب عكسي أو تحويل إلى صورة أخرى.

ثلاث محاولات استرجاع

حاول من الذاكرة شفهيًا أو على ورقة، ثم قارن بسبب الإجابة. هذه مراجعة ذاتية بلا درجة؛ عد إليها بعد فاصل لتجرّب دون النظر إلى الشرح.

المحاولة ١

احسب $1 / 2 + 1 / 3$ ، واشرح لماذا لا نجمع المقامين.

قارن بعد محاولتك

المقام يصف حجم الجزء؛ نوحّد الأجزاء إلى أسداس $: 3 / 6 + 2 / 6 = 5 / 6$ . جمع المقامين لا يحافظ على حجم الجزء.

المحاولة ٢

كم مجموعة مقدارها $0.4$ توجد في $2.8$ ؟ تحقّق بضرب الناتج.

قارن بعد محاولتك

توجد $7$ مجموعات؛ لأن $2.8 \div 0.4 = 7$ ، والتحقق $7 \times 0.4 = 2.8$ .

المحاولة ٣

اجمع $3 / 4$ ساعة و $20$ دقيقة. ما الوحدة التي ستستخدمها؟

قارن بعد محاولتك

نوحّد إلى دقائق $: 3 / 4 \times 60 = 45$ دقيقة، ثم $45 + 20 = 65$ دقيقة، أي ساعة و $5$ دقائق.

مراجع الفكرة

أمثلة وشروح وأسئلة أصلية من إعداد هلا سكول. المراجع العامة للاستزادة، وليست مصدرًا لأسئلة اختبار رسمي.

قسمة الكسور — Illustrative Mathematics
مرجع تأسيسي باللغة الإنجليزية عن معنى قسمة الكسور وتمثيلها.

المعادلات وقراءة البيانات

ماذا يمثل المجهول، وأي كمية يطلبها السؤال؟

القاعدة والشروط وطريقة التحقق

الفكرة أو القاعدة

عرّف المجهول قبل كتابة العلاقة، ثم حافظ على تساوي الطرفين بإجراء العملية نفسها عليهما. في $4 س + 7 = 31$ ، نحصل على $س = 6$ ونفحصه بالتعويض.

حدود الاستخدام

لا تقسم الطرفين على مقدار قد يكون صفرًا دون مناقشة هذه الحالة. انتبه إلى مجال المجهول: عدد قطع صحيح، أو طول موجب، أو قيمة أخرى يحددها السياق.

الوحدة ومعنى الكمية

في جدول البيانات، اقرأ عنوان العمود ووحدة القياس ونطاق الصفوف. الرسم الثابت يُضاف مرة واحدة، وسعر الوحدة يُضرب في عدد الوحدات.

تحقق قبل أن تعتمد الإجابة

أدخل الحل في المعادلة الأصلية، ثم أجب عن الكمية المطلوبة فعلًا؛ قد يكون المطلوب ضعف المجهول أو تكلفة كلية، لا المجهول نفسه.

ثلاث محاولات استرجاع

حاول من الذاكرة شفهيًا أو على ورقة، ثم قارن بسبب الإجابة. هذه مراجعة ذاتية بلا درجة؛ عد إليها بعد فاصل لتجرّب دون النظر إلى الشرح.

المحاولة ١

تكلفة خدمة: رسم ثابت $12$ ريالًا و $3$ ريالات لكل قطعة. اكتب معادلة تكلفة $6$ قطع واحسبها.

قارن بعد محاولتك

التكلفة $12 + 3 \times 6 = 30$ ريالًا. الرسم الثابت يُضاف مرة واحدة، ولا يُضرب في عدد القطع.

المحاولة ٢

حل $4 س + 7 = 31$ ، ثم افحص الحل في المعادلة الأصلية.

قارن بعد محاولتك

نطرح $7$ من الطرفين ثم نقسم على $4$ ، فنجد $س = 6$ . بالتعويض $: 4 \times 6 + 7 = 31$ .

المحاولة ٣

أُنجزت $12$ مهمة يوم الأحد و $18$ يوم الاثنين. ما حصة الاثنين من مجموع اليومين، وما نسبة زيادته على الأحد؟

قارن بعد محاولتك

حصة الاثنين $18 \div 30 = 60 %$ . الزيادة إلى الأحد $6 \div 12 = 50 %$ . المقام في الأولى هو المجموع، وفي الثانية قيمة البداية.

مراجع الفكرة

أمثلة وشروح وأسئلة أصلية من إعداد هلا سكول. المراجع العامة للاستزادة، وليست مصدرًا لأسئلة اختبار رسمي.

العبارات والمعادلات — Illustrative Mathematics
مرجع تأسيسي بالإنجليزية يربط توازن المعادلة بالجداول والعلاقات بين الكميات.
Everything Maths — المعادلات والمتباينات
مرجع إنجليزي تاريخي من Siyavula والمتطوعين/FHSST، إصدار 2012، CC BY 3.0. استُخدم للتحقق من مبادئ التوازن والتعويض؛ أمثلتنا وأسئلتنا أصلية.

الهندسة والمساحة والمحيط

هل المطلوب طول حد أم مقدار سطح، وما الارتفاع الصحيح؟

القاعدة والشروط وطريقة التحقق

الفكرة أو القاعدة

مساحة المستطيل حاصل ضرب بعديه، ومساحة المثلث نصف حاصل ضرب القاعدة في ارتفاعها العمودي. محيط الدائرة $2 π ن$ ومساحتها $π ن^{2}$ ، حيث $ن$ نصف القطر.

حدود الاستخدام

اختر ارتفاعًا عموديًا على القاعدة المختارة، لا ضلعًا مائلًا لمجرد أنه مرسوم. لا تفترض أن الرسم بمقياس أو أن زاوية قائمة دون معطى.

الوحدة ومعنى الكمية

المحيط بوحدات طول، والمساحة بوحدات مربعة. تحويل السنتيمتر إلى متر لا يستخدم العامل نفسه الذي يحول سم² إلى م².

تحقق قبل أن تعتمد الإجابة

تتبّع كل قطعة من الحد المطلوب، أو قسّم الشكل إلى أجزاء معلومة دون عد المساحة نفسها مرتين. افحص معقولية الحجم والوحدة.

ثلاث محاولات استرجاع

حاول من الذاكرة شفهيًا أو على ورقة، ثم قارن بسبب الإجابة. هذه مراجعة ذاتية بلا درجة؛ عد إليها بعد فاصل لتجرّب دون النظر إلى الشرح.

المحاولة ١

مثلث قاعدته $10$ سم وارتفاعه العمودي $6$ سم. ما مساحته؟ وهل يصلح أي ضلع مائل بدل الارتفاع؟

قارن بعد محاولتك

المساحة $10 \times 6 \div 2 = 30$ سم². لا يصلح الضلع المائل إلا إذا كان عموديًا على القاعدة المختارة.

المحاولة ٢

نصف دائرة نصف قطرها $5$ سم. عبّر عن طول الحد المغلق باستعمال $π$ ، وفسّر كل جزء.

قارن بعد محاولتك

الحد المغلق $5 π + 10$ سم: القوس نصف محيط الدائرة، والجزء المستقيم هو القطر. المساحة ليست طول هذا الحد.

المحاولة ٣

قارن محيطي ومساحتي مستطيلين أبعادهما $2 \times 8$ سم و $4 \times 6$ سم. ماذا يثبت المثال؟

قارن بعد محاولتك

المحيطان $20$ سم، والمساحتان $16$ و $24$ سم². تساوي المحيط لا يستلزم تساوي المساحة.

مراجع الفكرة

أمثلة ورسوم وشروح وأسئلة أصلية من إعداد هلا سكول. المراجع العامة للاستزادة، وليست مصدرًا لأسئلة اختبار رسمي.

المساحة وتحليل الأشكال — Illustrative Mathematics
مرجع تأسيسي بالإنجليزية عن القاعدة والارتفاع ومساحات المثلثات والأشكال المركبة.
Everything Maths — القياس
مرجع إنجليزي تاريخي من Siyavula والمتطوعين/FHSST، إصدار 2012، CC BY 3.0. استُخدم للتحقق من مبادئ القياس؛ الرسوم والأمثلة والأسئلة هنا أصلية.

المقارنة الكمية وكفاية المعطيات

هل المعطيات تفرض علاقة واحدة في كل الحالات المسموح بها؟

القاعدة والشروط وطريقة التحقق

الفكرة أو القاعدة

قارن الكميتين تحت القيود المعطاة كلها. مثال مضاد صحيح يكفي لنفي حكم «دائمًا». إذا وجدت حالتين مسموحتين تعطيان علاقتين مختلفتين فلا يمكن تحديد علاقة واحدة.

حدود الاستخدام

قبل الضرب التبادلي أو الضرب في متغير، حدّد إشارة المضروب فيه. الضرب في عدد سالب يقلب اتجاه المتباينة، والقسمة على صفر غير جائزة.

الوحدة ومعنى الكمية

وحّد وحدات الكميتين. لا تقارن عددًا يمثل مساحة بعدد يمثل طولًا باعتبارهما الكمية نفسها.

تحقق قبل أن تعتمد الإجابة

جرّب القيم الحدية أو الصفر أو السالب أو الكسر فقط إذا سمحت الشروط. مثال واحد مؤيد لا يثبت الحكم لكل الحالات.

ثلاث محاولات استرجاع

حاول من الذاكرة شفهيًا أو على ورقة، ثم قارن بسبب الإجابة. هذه مراجعة ذاتية بلا درجة؛ عد إليها بعد فاصل لتجرّب دون النظر إلى الشرح.

المحاولة ١

إذا كان $س$ موجبًا فقط، فهل $س^{2}$ أكبر من $س$ دائمًا؟ أعط حالتين.

قارن بعد محاولتك

لا. عند $س = 2$ يكون $س^{2}$ أكبر، وعند $س = 0.5$ يكون $س^{2}$ أصغر. الموجب قد يكون بين الصفر والواحد.

المحاولة ٢

قارن $5 / 8$ و $7 / 12$ مع تفسير صالح للمقامين الموجبين.

قارن بعد محاولتك

نقارن $5 \times 12 = 60$ و $7 \times 8 = 56$ ؛ لذلك $5 / 8$ أكبر. ويمكن توحيد المقام إلى $24 :$ نقارن $15 / 24$ و $14 / 24$ .

المحاولة ٣

$س$ عدد صحيح بين $1$ و $5$ شاملًا. هل يمكن تحديد أيهما أكبر $: س + 1$ أم $4$ ؟

قارن بعد محاولتك

لا يمكن تحديد علاقة واحدة: عند $س = 1$ تكون الكمية الأولى أصغر، وعند $س = 3$ تتساويان، وعند $س = 5$ تكون الأولى أكبر. كل الحالات توافق الشرط.

مراجع الفكرة

أمثلة وشروح وأسئلة أصلية من إعداد هلا سكول. المراجع العامة للاستزادة، وليست مصدرًا لأسئلة اختبار رسمي.

Everything Maths — المعادلات والمتباينات
مرجع إنجليزي تاريخي من Siyavula والمتطوعين/FHSST، إصدار 2012، CC BY 3.0. استُخدم للتحقق من مبادئ التوازن والتعويض؛ أمثلتنا وأسئلتنا أصلية.
العبارات والمعادلات — Illustrative Mathematics
مرجع تأسيسي بالإنجليزية يربط توازن المعادلة بالجداول والعلاقات بين الكميات.

معدلات الإنجاز والعمل المشترك

ما مقدار العمل المنجز في وحدة الزمن، وما الجزء المتبقي؟

القاعدة والشروط وطريقة التحقق

الفكرة أو القاعدة

إذا استغرق عمل كامل $ن$ ساعات، فمعدل الإنجاز $1 / ن$ عمل في الساعة. نجمع المعدلات المتعاونة، ثم نقسم العمل المتبقي على المعدل المشترك.

حدود الاستخدام

يلزم ثبات المعدلات واستقلال مساهمة كل عامل أو آلة وإمكان العمل معًا كما وُصف. عند تغير عدد العاملين أو بدء أحدهم متأخرًا، قسّم الزمن إلى مراحل.

الوحدة ومعنى الكمية

وحّد الزمن أولًا. المعدل عمل لكل ساعة، والعمل المنجز حاصل ضرب المعدل في عدد الساعات، والزمن عمل مقسوم على معدل.

تحقق قبل أن تعتمد الإجابة

اجمع أجزاء العمل التي أنجزتها المراحل؛ يجب أن يطابق مجموعها العمل المطلوب. في نموذج عاملين متعاونين بمعدلين موجبين، الزمن المشترك أقل من زمن كل منهما منفردًا.

ثلاث محاولات استرجاع

حاول من الذاكرة شفهيًا أو على ورقة، ثم قارن بسبب الإجابة. هذه مراجعة ذاتية بلا درجة؛ عد إليها بعد فاصل لتجرّب دون النظر إلى الشرح.

المحاولة ١

عامل ينجز عملًا كاملًا في $6$ ساعات وآخر في $3$ ساعات. ما زمنهما معًا إذا ثبت المعدلان ولم يتداخلا؟

قارن بعد محاولتك

المعدل المشترك $1 / 6 + 1 / 3 = 1 / 2$ عمل في الساعة، فالزمن ساعتان. نجمع معدلات الإنجاز، لا أزمنة العمل الكامل.

المحاولة ٢

آلة تُنجز عملًا في $8$ ساعات. عملت ساعتين منفردة. ما الجزء المتبقي؟

قارن بعد محاولتك

أنجزت $2 / 8 = 1 / 4$ من العمل؛ بقي $3 / 4$ . ساعتان ليستا نصف العمل إلا إذا كان العمل كله يستغرق $4$ ساعات.

المحاولة ٣

$4$ عمال متماثلون ينجزون مهمة في $9$ ساعات. ما زمن $6$ عمال تحت الشروط نفسها؟

قارن بعد محاولتك

المهمة تحتاج إلى $4 \times 9 = 36$ ساعة عمل لعامل واحد؛ الزمن $36 \div 6 = 6$ ساعات. نفترض ثبات الإنتاجية وإمكان تقسيم العمل دون تعطيل.

مراجع الفكرة

أمثلة وشروح وأسئلة أصلية من إعداد هلا سكول. المراجع العامة للاستزادة، وليست مصدرًا لأسئلة اختبار رسمي.

معدل الوحدة والنسب المئوية — Illustrative Mathematics
مرجع تأسيسي باللغة الإنجليزية من مجموعة IM القديمة؛ للاستزادة في معنى النسبة.
Math in Society — حل المسائل والمعدلات
مرجع إنجليزي من تأليف David Lippman، إصدار 2.6، عن النسب والمعدلات وتحديد المعطيات والافتراضات. أسئلة هلا وسياقاتها أصلية.

السرعة والمسافة واللحاق

من أي لحظة يبدأ الزمن، وهل الفجوة تتناقص بجمع السرعتين أم بفرقهما؟

القاعدة والشروط وطريقة التحقق

الفكرة أو القاعدة

المسافة تساوي السرعة مضروبة في الزمن عند سرعة ثابتة. عند التقابل تقل الفجوة بمجموع السرعتين، وعند اللحاق في الاتجاه نفسه تقل بفرق السرعتين إذا كان اللاحق أسرع.

حدود الاستخدام

راجع اتجاه الحركة ووقت الانطلاق والتوقفات. قواعد جمع/طرح السرعات هنا لحركة على المسار نفسه بالوصف المعطى، وليست قاعدة لكل رسم هندسي.

الوحدة ومعنى الكمية

وحّد كم $/ س$ أو م/ث والزمن الموافق. متوسط سرعة رحلة كاملة هو المسافة الكلية مقسومة على الزمن الكلي، مع إدخال زمن التوقف إن شمله السؤال.

تحقق قبل أن تعتمد الإجابة

احسب موضع كل متحرك عند الزمن المقترح. في اللحاق يجب أن تتساوى المواضع، مع احتساب تقدم السابق قبل انطلاق اللاحق.

ثلاث محاولات استرجاع

حاول من الذاكرة شفهيًا أو على ورقة، ثم قارن بسبب الإجابة. هذه مراجعة ذاتية بلا درجة؛ عد إليها بعد فاصل لتجرّب دون النظر إلى الشرح.

المحاولة ١

متحركان يتجهان نحو بعضهما بسرعة $30$ و $50$ كم $/ س$ ، والمسافة بينهما $160$ كم. متى يلتقيان؟

قارن بعد محاولتك

تتناقص المسافة بمعدل $30 + 50 = 80$ كم $/ س$ ، فيلتقيان بعد $160 \div 80 =$ ساعتين إذا استمرت السرعتان والمساران كما وُصفا.

المحاولة ٢

انطلق أسرع بسرعة $60$ كم $/ س$ خلف أبطأ بسرعة $40$ كم $/ س$ يتقدمه $30$ كم. كم يستغرق اللحاق من انطلاق الأسرع؟

قارن بعد محاولتك

سرعة تقليل الفجوة $60 - 40 = 20$ كم $/ س$ ؛ الزمن $30 \div 20 = 1.5$ ساعة. يبدأ الزمن المطلوب من انطلاق الأسرع.

المحاولة ٣

رحلة $60$ كم بسرعة $30$ كم $/ س$ ثم $60$ كم بسرعة $60$ كم $/ س$ . ما متوسط السرعة للرحلة دون توقف؟

قارن بعد محاولتك

الزمنان ساعتان وساعة؛ المتوسط $120 \div 3 = 40$ كم $/ س$ . متوسط السرعتين $45$ لا يصلح هنا لأن الزمنين مختلفان.

مراجع الفكرة

أمثلة وشروح وأسئلة أصلية من إعداد هلا سكول. المراجع العامة للاستزادة، وليست مصدرًا لأسئلة اختبار رسمي.

Math in Society — حل المسائل والمعدلات
مرجع إنجليزي من تأليف David Lippman، إصدار 2.6، عن النسب والمعدلات وتحديد المعطيات والافتراضات. أسئلة هلا وسياقاتها أصلية.
معدل الوحدة والنسب المئوية — Illustrative Mathematics
مرجع تأسيسي باللغة الإنجليزية من مجموعة IM القديمة؛ للاستزادة في معنى النسبة.

القواسم والمضاعفات والبواقي

هل أبحث عن أكبر تقسيم مشترك، أم أول تزامن، أم باقي قسمة؟

القاعدة والشروط وطريقة التحقق

الفكرة أو القاعدة

القاسم المشترك الأكبر يناسب تقسيم كميات إلى أكبر عدد من الحزم المتماثلة دون بقايا. المضاعف المشترك الأصغر يناسب أول تزامن موجب لدورات بدأت معًا.

حدود الاستخدام

في القسمة الإقليدية لعدد صحيح غير سالب على عدد صحيح موجب: المقسوم يساوي المقسوم عليه مضروبًا في الخارج ثم يضاف الباقي، ويكون الباقي غير سالب وأصغر من المقسوم عليه.

الوحدة ومعنى الكمية

في التزامن وحّد وحدات الفترات. وفي الحزم ميّز عدد الحزم من محتوى الحزمة؛ القاسم المشترك قد يجيب عن واحدة منهما بحسب صياغة السؤال.

تحقق قبل أن تعتمد الإجابة

أعد تركيب العدد من الخارج والباقي، وافحص كل شرط إضافي. إذا طُلب الأصغر، فتأكد من عدم وجود مرشح أصغر يحقق الشروط.

ثلاث محاولات استرجاع

حاول من الذاكرة شفهيًا أو على ورقة، ثم قارن بسبب الإجابة. هذه مراجعة ذاتية بلا درجة؛ عد إليها بعد فاصل لتجرّب دون النظر إلى الشرح.

المحاولة ١

تريد تقسيم $18$ قلمًا و $24$ دفترًا إلى أكبر عدد من الحزم المتماثلة دون بقايا. كم حزمة؟

قارن بعد محاولتك

عدد الحزم يقسم العددين؛ أكبر قاسم مشترك هو $6$ . في كل حزمة $3$ أقلام و $4$ دفاتر.

المحاولة ٢

إشارتان تتكرران كل $6$ و $8$ دقائق وبدأتا معًا. بعد كم دقيقة تتزامنان لأول مرة؟

قارن بعد محاولتك

نبحث عن أصغر زمن موجب يكون مضاعفًا للعددين؛ المضاعف المشترك الأصغر $24$ دقيقة، لا القاسم المشترك.

المحاولة ٣

تحقق من قسمة $47$ على $6$ باستخدام خارج القسمة والباقي وحدوده.

قارن بعد محاولتك

$47 = 6 \times 7 + 5$ ؛ الخارج $7$ والباقي $5$ . الباقي غير سالب وأصغر من $6$ ؛ لو بلغ $6$ لأمكن تكوين مجموعة إضافية.

مراجع الفكرة

أمثلة وشروح وأسئلة أصلية من إعداد هلا سكول. المراجع العامة للاستزادة، وليست مصدرًا لأسئلة اختبار رسمي.

القواسم والمضاعفات المشتركة — Illustrative Mathematics
مرجع تأسيسي بالإنجليزية يميز اختيار القاسم المشترك من اختيار المضاعف المشترك بحسب الموقف. أمثلتنا وأسئلتنا أصلية.
باقي القسمة — Math in Society
مرجع إنجليزي من تأليف David Lippman، إصدار 2.6. راجع بداية فقرة Modular arithmetic في الصفحة المرقمة 396؛ بقية الفصل ليست مطلوبة لهذا الدرس.

الأسس والجذور دون خلط

هل العملية ضرب قوتين، أم رفع قوة، أم أخذ جذر؟

القاعدة والشروط وطريقة التحقق

الفكرة أو القاعدة

عند ضرب قوتين للأساس نفسه نجمع الأسين، وعند رفع قوة إلى قوة نضرب الأسين. الأس السالب يدل على المقلوب للأساس غير الصفري $: 3^{- 2} = 1 / 9$ .

حدود الاستخدام

قواعد الأسس هنا للأسس الصحيحة؛ مع الأس الصفري أو السالب يلزم أساس غير صفري. انتبه إلى الأقواس وإشارة الأساس. في الأعداد الحقيقية، الجذر التربيعي الرئيسي غير سالب ولا يوجد جذر تربيعي حقيقي لعدد سالب.

الوحدة ومعنى الكمية

إذا مثّل المقدار طولًا، فمربعه يرتبط بوحدة مربعة ومكعبه بوحدة مكعبة. لا تحذف الوحدات عند تفسير النتيجة الهندسية.

تحقق قبل أن تعتمد الإجابة

اختبر الحل بالتربيع أو بضرب المقلوب. للمعادلة افحص كل مرشح ثم طبق قيود السياق؛ طول سالب لا يصلح طولًا حتى إن حقق معادلة مجردة.

ثلاث محاولات استرجاع

حاول من الذاكرة شفهيًا أو على ورقة، ثم قارن بسبب الإجابة. هذه مراجعة ذاتية بلا درجة؛ عد إليها بعد فاصل لتجرّب دون النظر إلى الشرح.

المحاولة ١

قارن طريقة حساب $2^{3} \times 2^{2}$ بطريقة حساب ${(2^{3})}^{2}$ .

قارن بعد محاولتك

في الضرب نجمع الأسين $: 2^{5} = 32$ . عند رفع قوة إلى قوة نضربهما $: 2^{6} = 64$ . العمليتان مختلفتان.

المحاولة ٢

ما قيمة $3^{- 2}$ ؟ تحقق بضربها في $3^{2}$ .

قارن بعد محاولتك

القيمة $1 / 9$ ؛ الأس السالب يدل على المقلوب، لا على سالب العدد. والتحقق $1 / 9 \times 9 = 1$ .

المحاولة ٣

فرّق بين قيمة $\sqrt{36}$ وحلول $س^{2} = 36$ عندما لا توجد قيود أخرى على $س$ .

قارن بعد محاولتك

قيمة الجذر التربيعي الرئيسية $\sqrt{36} = 6$ . أما المعادلة فحلّاها $6$ و $- 6$ لأن مربع كل منهما $36$ .

مراجع الفكرة

أمثلة وشروح وأسئلة أصلية من إعداد هلا سكول. المراجع العامة للاستزادة، وليست مصدرًا لأسئلة اختبار رسمي.

قواعد الأسس — Illustrative Mathematics
مرجع تأسيسي بالإنجليزية لمعنى الأس الصفري والسالب وقواعد القوى. أمثلتنا وأسئلتنا أصلية.
التربيع والجذور — Illustrative Mathematics
مرجع إنجليزي للتمييز بين قيمة الجذر التربيعي وحلول معادلة فيها مربع. يضم المرجع موضوعات أوسع من درسنا.
Everything Maths — تقدير الجذور
قسم Estimating surds من مصدر Siyavula التاريخي، إصدار 2012، CC BY 3.0. استُخدم للتحقق من حصر الجذور بين مربعات؛ أسئلة هلا أصلية.

المتتابعات: من القاعدة إلى الحد

هل الفرق ثابت أم النسبة ثابتة، ومن أي رتبة يبدأ العد؟

القاعدة والشروط وطريقة التحقق

الفكرة أو القاعدة

في المتتابعة الحسابية نضيف الفرق عددًا من المرات يساوي الرتبة ناقص واحد إذا بدأنا من الحد الأول. في الهندسية نضرب في النسبة بهذا العدد من المرات.

حدود الاستخدام

اختبر القاعدة على الحدود المعطاة، وحدّد رتبة البداية. لا تكفي بضعة أعداد لتحديد قاعدة وحيدة دون قيد؛ اتبع نوع المتتابعة أو النمط المحدد في السؤال.

الوحدة ومعنى الكمية

رتبة الحد عدد يصف موضعه، وقيمته قد تمثل كمية لها وحدة. لا تجب بالرتبة حين يطلب السؤال قيمة الحد.

تحقق قبل أن تعتمد الإجابة

اكتب أول حدين أو ثلاثة من القاعدة المقترحة. عند طلب رتبة، تحقق أنها عدد صحيح موجب في مجال المتتابعة.

ثلاث محاولات استرجاع

حاول من الذاكرة شفهيًا أو على ورقة، ثم قارن بسبب الإجابة. هذه مراجعة ذاتية بلا درجة؛ عد إليها بعد فاصل لتجرّب دون النظر إلى الشرح.

المحاولة ١

متتابعة حسابية حدها الأول $4$ والفرق $3$ . أوجد الحد السادس وفسّر عدد الزيادات.

قارن بعد محاولتك

بين الأول والسادس خمس زيادات؛ الحد السادس $4 + 5 \times 3 = 19$ . رتبة الحد ليست عدد الزيادات من الحد الأول.

المحاولة ٢

متتابعة هندسية تبدأ بـ $3$ ونسبتها $2$ . أوجد الحد الرابع دون استعمال قاعدة محفوظة.

قارن بعد محاولتك

الحدود $3$ ، $6$ ، $12$ ، $24$ . ضربنا في $2$ ثلاث مرات؛ الحد الرابع $24$ .

المحاولة ٣

كم عدد الحدود في المتتابعة $7$ ، $11$ ، $15$ ، …، $31$ إذا استمر الفرق نفسه؟

قارن بعد محاولتك

عدد الفواصل $(31 - 7) \div 4 = 6$ ؛ عدد الحدود $7$ لأننا نعدّ الطرف الأول أيضًا.

مراجع الفكرة

أمثلة ورسوم وشروح وأسئلة أصلية من إعداد هلا سكول. المراجع العامة للاستزادة، وليست مصدرًا لأسئلة اختبار رسمي.

المتتابعات ورتبة الحد — Illustrative Mathematics
مرجع إنجليزي لتمثيل المتتابعات وتحديد رتبة البداية قبل كتابة قاعدة الحد. أمثلة هلا وأسئلتها ورسومها أصلية، ويبدأ ترقيمها هنا بالرتبة 1.

المتوسط المرجح ومسائل المزج

ما الكمية المحفوظة، وما وزن كل مجموعة؟

القاعدة والشروط وطريقة التحقق

الفكرة أو القاعدة

المتوسط المرجح مجموع حاصل ضرب كل قيمة في وزنها، مقسومًا على مجموع الأوزان. في المزج نتتبع كمية المكوّن نفسه ثم نقسمها على كمية الخليط الكلية.

حدود الاستخدام

استخدم أوزانًا غير سالبة ومجموعًا موجبًا. حدّد إن كانت النسبة كتلية أو حجمية، وهل الكمية محفوظة وهل جمع الأحجام مفترض في المسألة. عند الإزالة يلزم بيان تجانس الخليط.

الوحدة ومعنى الكمية

لا تجمع كيلوغرامات مع لترات دون معلومة تحويل مناسبة. الأوزان يجب أن تمثل كميات قابلة للجمع من النوع نفسه.

تحقق قبل أن تعتمد الإجابة

عند خلط مادتين وفق النموذج وبأوزان موجبة، يقع التركيز بين التركيزين ويقترب من تركيز الكمية الأكبر. افحص كتلة المكوّن قبل وبعد كل مرحلة.

ثلاث محاولات استرجاع

حاول من الذاكرة شفهيًا أو على ورقة، ثم قارن بسبب الإجابة. هذه مراجعة ذاتية بلا درجة؛ عد إليها بعد فاصل لتجرّب دون النظر إلى الشرح.

المحاولة ١

مزيج من $2$ كغ بتركيز $10 %$ و $6$ كغ بتركيز $30 %$ للمكوّن نفسه. ما التركيز النهائي إذا حُفظت الكتلة؟

قارن بعد محاولتك

كتلة المكوّن $0.2 + 1.8 = 2$ كغ من مجموع $8$ كغ؛ التركيز $25 %$ . الكمية الأكبر تجعل النتيجة أقرب إلى $30 %$ .

المحاولة ٢

للحصول على متوسط $18$ من قيمتي $10$ و $30$ ، ما نسبة وزن $10$ إلى وزن $30$ ؟

قارن بعد محاولتك

النسبة $3 : 2$ ؛ الفجوتان عن الهدف $8$ و $12$ ، والأوزان بعكس الفجوتين. التحقق $(3 \times 10 + 2 \times 30) \div 5 = 18$ .

المحاولة ٣

خليط متجانس كتلته $10$ كغ وفيه $20 %$ من مكوّن. أُزيل $2$ كغ منه واستُبدلت بكتلة مساوية خالية من المكوّن. ما التركيز؟

قارن بعد محاولتك

كانت كتلة المكوّن $2$ كغ. أُزيل منها $2 \times 0.2 = 0.4$ كغ، فبقي $1.6$ كغ ضمن $10$ كغ؛ التركيز $16 %$ . الإزالة تسحب جزءًا من المكوّن أيضًا.

مراجع الفكرة

أمثلة ورسوم وشروح وأسئلة أصلية من إعداد هلا سكول. المراجع العامة للاستزادة، وليست مصدرًا لأسئلة اختبار رسمي.

المتوسط المرجح — OpenIntro
ملحق تعليمي بالإنجليزية يوضح إعادة المجموع من متوسط كل مجموعة وحجمها. راجع فقرة Weighted mean في الصفحتين 2 و3؛ بيانات المرجع وأمثلته ليست أسئلة هلا.
وصف البيانات — Math in Society
مرجع إنجليزي لمفهوم المتوسط وقراءة البيانات، إصدار 2.6. يذكر الفصل David Lippman وJeff Eldridge وOnlineStatBook في إسناده. الأمثلة والأسئلة العربية هنا أصلية.

التشابه ومقياس الرسم

هل تغيّرت كل الأطوال بالمعامل نفسه؟

القاعدة والشروط وطريقة التحقق

الفكرة أو القاعدة

للأشكال المتشابهة بمعامل طول $ك$ ، تتغير المساحات بمعامل $ك^{2}$ ، وتتغير أحجام المجسمات المتشابهة بمعامل $ك^{3}$ . مقياس الرسم يقارن طولًا مرسومًا بطوله الحقيقي بعد توحيد الوحدة.

حدود الاستخدام

يلزم التشابه وتحديد اتجاه النسبة؛ نسبة الكبير إلى الصغير هي مقلوب نسبة الصغير إلى الكبير. تشابه شكلين مستويين لا يحدد حجم مجسم لم تُعط أبعاده.

الوحدة ومعنى الكمية

في $1 : 500$ ، سنتيمتر واحد على الرسم يقابل $500$ سنتيمتر حقيقة. عامل تحويل المساحة مربع عامل الطول، وعامل الحجم مكعبه.

تحقق قبل أن تعتمد الإجابة

قارن أكثر من طول متناظر قبل افتراض التشابه. إذا أعطيت نسبة مساحات فاستخرج معامل الطول بالجذر التربيعي الموجب، لا باستعمال النسبة نفسها.

ثلاث محاولات استرجاع

حاول من الذاكرة شفهيًا أو على ورقة، ثم قارن بسبب الإجابة. هذه مراجعة ذاتية بلا درجة؛ عد إليها بعد فاصل لتجرّب دون النظر إلى الشرح.

المحاولة ١

شكلان متشابهان، نسبة طول الكبير إلى الصغير $3$ . ما نسبة المساحتين؟

قارن بعد محاولتك

نسبة المساحتين $3^{2} = 9$ . لا تتبع المساحة معامل الطول نفسه؛ فهي تتأثر باتجاهين.

المحاولة ٢

طول على رسم $4$ سم يقابل $20$ مترًا. اكتب مقياس الرسم بعد توحيد الوحدة.

قارن بعد محاولتك

$20$ مترًا تساوي $2000$ سم؛ المقياس $4 : 2000 = 1 : 500$ . لا يصح اختزال $4 : 20$ قبل توحيد الوحدتين.

المحاولة ٣

تضاعف طول مستطيل وبقي عرضه ثابتًا. هل تتضاعف مساحته أربع مرات؟ وهل الشكل الجديد مشابه للأول؟

قارن بعد محاولتك

تتضاعف المساحة مرتين فقط. لا يتحقق التشابه؛ معامل أحد البعدين $2$ والآخر $1$ . قاعدة مربع المعامل تتطلب قياس كل الأطوال بالمعامل نفسه.

مراجع الفكرة

أمثلة ورسوم وشروح وأسئلة أصلية من إعداد هلا سكول. المراجع العامة للاستزادة، وليست مصدرًا لأسئلة اختبار رسمي.

المضلعات المتشابهة — Illustrative Mathematics
مرجع إنجليزي يوضح شرطَي تساوي الزوايا المتناظرة وثبات نسبة الأطوال. الأمثلة العربية مستقلة وأصلية.
القياس والمساحة — Illustrative Mathematics
مرجع إنجليزي لمربع معامل القياس في المساحات، بما في ذلك التصغير. الرسوم والأسئلة هنا من إعداد هلا.
قياس المجسمات — Illustrative Mathematics
مرجع إنجليزي لتمييز تغير مساحة السطح بمربع المعامل وتغير الحجم بمكعبه في المجسمات المتشابهة.

قراءة البيانات والاحتمالات

ما فضاء النتائج، وهل تغير الشرط أو عدد العناصر؟

القاعدة والشروط وطريقة التحقق

الفكرة أو القاعدة

عند تساوي فرص النتائج، الاحتمال عدد النتائج الموافقة مقسومًا على عدد النتائج الممكنة. لعد من يحقق أحد وصفين على الأقل، نجمع عددي المجموعتين ونطرح من يجمع الوصفين مرة واحدة.

حدود الاستخدام

لا تستخدم العد البسيط إن لم تتساو فرص النتائج. عند السحب دون إرجاع يتغير عدد العناصر، وعند شرط جديد نحصر المقام في الحالات التي تحقق الشرط.

الوحدة ومعنى الكمية

الاحتمال عدد بلا وحدة بين $0$ و $1$ ، ويمكن عرضه كنسبة مئوية. في الجداول ميّز عدد الأشخاص من النسبة، وحدّد الصف أو العمود الذي يشكل المقام.

تحقق قبل أن تعتمد الإجابة

عدّ النتائج بقائمة أو جدول صغير، وافحص أن الاحتمالات لا تتجاوز $1$ . لا تفترض استقلال حدثين لمجرد أنهما مختلفان.

ثلاث محاولات استرجاع

حاول من الذاكرة شفهيًا أو على ورقة، ثم قارن بسبب الإجابة. هذه مراجعة ذاتية بلا درجة؛ عد إليها بعد فاصل لتجرّب دون النظر إلى الشرح.

المحاولة ١

في مجموعة $12$ طالبًا، منهم $8$ يركبون الحافلة. اختير طالب عشوائيًا بفرص متساوية. ما احتمال أنه يركب الحافلة؟

قارن بعد محاولتك

الاحتمال $8 / 12 = 2 / 3$ . المقام جميع أفراد المجموعة لأن الاختيار لم يُقيد بفئة أصغر.

المحاولة ٢

كيس فيه $3$ كرات حمراء و $2$ زرقاء. ما احتمال سحب كرتين حمراوين دون إرجاع، مع سحب عشوائي متساوي الفرص؟

قارن بعد محاولتك

الاحتمال $3 / 5 \times 2 / 4 = 3 / 10$ . بعد الأحمر الأول بقيت كرتان حمراوان ضمن أربع كرات؛ لا يبقى المقام $5$ .

المحاولة ٣

في مجموعة من $20$ شخصًا، يدرس $12$ لغة أولى و $9$ لغة ثانية، و $5$ يدرسون اللغتين. كم يدرس واحدة على الأقل؟

قارن بعد محاولتك

العدد $12 + 9 - 5 = 16$ ؛ نطرح التقاطع لأنه عُدّ مرتين. «واحدة على الأقل» تشمل من يدرس اللغتين.

مراجع الفكرة

أمثلة ورسوم وشروح وأسئلة أصلية من إعداد هلا سكول. المراجع العامة للاستزادة، وليست مصدرًا لأسئلة اختبار رسمي.

الاحتمالات — Math in Society
مرجع إنجليزي من تأليف David Lippman، إصدار 2.6. الصفحات المطبوعة 279–288 تعرض النتائج المتساوية الفرص والاتحاد والاحتمال المشروط. لا نعيد نشر أمثلة المرجع.
وصف البيانات — Math in Society
مرجع إنجليزي لمفهوم المتوسط وقراءة البيانات، إصدار 2.6. يذكر الفصل David Lippman وJeff Eldridge وOnlineStatBook في إسناده. الأمثلة والأسئلة العربية هنا أصلية.
التجارب متعددة الخطوات — Illustrative Mathematics
مرجع إنجليزي لتمثيل فضاء النتائج بالقوائم والجداول ومراجعة شروط السحب. أسئلة هلا وجدولها التفاعلي أصليان.