الأسس والجذور دون خلط

اقرأ الأساس والأقواس، ثم اختر القانون بشروطه

الأس يحصي عوامل متكررة

التعبير $4^{3}$ يعني $4 \times 4 \times 4$ ، ولا يعني $4 \times 3$ . عند ضرب قوتين لهما الأساس نفسه نجمع عدد العوامل، وعند رفع قوة إلى قوة نكرر المجموعة كلها. أما الجذر التربيعي فيبحث عن العدد غير السالب الذي يعيد العدد الأصلي عند تربيعه $: \sqrt{36} = 6$ ، و $\sqrt{0} = 0$ . المعادلة $س^{2} = 36$ لها حلان حقيقيان، هما $6$ و $- 6$ ؛ هذه مسألة مختلفة عن طلب قيمة $\sqrt{36}$ .

حدد الأساس كاملًا $: {(- 4)}^{2}$ يربع العدد السالب، أما $- 4^{2}$ فيعني سالب مربع $4$ .
عند ضرب قوتين لهما الأساس نفسه نجمع الأسين، وعند قسمتهما نطرحهما بشرط ألا يكون الأساس صفرًا. مثال $: 5^{3} \times 5^{2} = 5^{5}$ ، و $5^{3} \div 5^{2} = 5$ .
عند رفع قوة إلى قوة نضرب الأسين $: {(3^{2})}^{3} = 3^{6}$ . القوانين هنا للأسس الصحيحة، ولا تسمح بجمع الأسس عند جمع القوى.
لأي أساس غير صفري، قيمته مرفوعًا إلى الأس صفر تساوي $1$ . والأس السالب يعني مقلوب القوة $: 3^{- 2} = 1 / 9$ ، ولا يعني عددًا سالبًا.
في الأعداد الحقيقية لا نأخذ الجذر التربيعي لعدد سالب. لحصر جذر عدد موجب، أحصر العدد بين مربعين متتاليين. ولتبسيط جذر حاصل ضرب عددين غير سالبين يمكن أخذ جذر كل عامل ثم الضرب.

لا توزع الجذر على الجمع $: \sqrt{9 + 16} = 5$ ، بينما $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ . كذلك لا تختصر $\sqrt{س^{2}}$ إلى $س$ لكل الأعداد الحقيقية؛ الناتج هو مقدار $س$ غير السالب، أي $| س |$ .

وحّد الأساس قبل اختصار القوى

احسب قيمة $(2^{5} \times 4^{2}) \div 8^{2}$ دون ضرب أعداد كبيرة أولًا.

نكتب $4^{2} = {(2^{2})}^{2} = 2^{4}$ ، ونكتب $8^{2} = {(2^{3})}^{2} = 2^{6}$ .
يصبح التعبير $(2^{5} \times 2^{4}) \div 2^{6}$ . الأساس واحد وغير صفري، لذا نجمع أسّي الضرب ثم نطرح أس المقام.
الأس النهائي $5 + 4 - 6 = 3$ ، فتكون القيمة $2^{3} = 8$ .

بالحساب المباشر $: 32 \times 16 \div 64 = 8$ . الطريقتان تعطيان النتيجة نفسها.

حل المعادلة أم طول الضلع؟

مساحة لوحة مربعة $121$ سم². ما طول ضلعها؟ وما الذي يتغير لو طلبنا جميع الحلول الحقيقية للمعادلة $س^{2} = 121$ دون سياق هندسي؟

طول الضلع عدد موجب مربعه $121$ ، إذن الطول $\sqrt{121} = 11$ سم.
في المعادلة المجردة نجد $11^{2} = 121$ وكذلك ${(- 11)}^{2} = 121$ .
لذلك للمعادلة حلان حقيقيان، بينما قيمة الجذر التربيعي وطول الضلع هنا كلاهما $11$ .

نعوض بكل حل في المعادلة، ثم نفحص شرط المسألة. صحة التعويض وحدها لا تجعل الطول السالب مقبولًا.

من الأس الموجب إلى الصفر والمقلوب

غيّر الأس وتوقع القيمة قبل قراءة النتيجة. ثم انتقل إلى التربيع والجذر، وجرّب عددًا سالبًا وآخر موجبًا له المقدار نفسه. شغّل JavaScript لاستخدام التجربة التفاعلية.

تدرّب واطبع

ابدأ تدريب هذه الوحدة

أوراق الطالب PDF · دليل الحلول PDF

مكتبة الأوراق والمراجعة للطباعة

ثبّت الفكرة بعد اليوم

غدًا: اشرح بالكلمات الفرق بين ضرب قوتين ورفع قوة إلى قوة.
بعد ثلاثة أيام: احسب قوة ذات أس سالب، ثم تحقق بضربها في القوة ذات الأس الموجب المقابل.
بعد أسبوع: قارن قيمة جذر تربيعي بحلول معادلة فيها مربع، واذكر متى نستبعد الحل السالب.

مرجع الفكرة وثلاثة أسئلة استرجاع

عن المحتوى والمراجع

أمثلة وشروح وأسئلة أصلية من إعداد هلا سكول. المراجع العامة للاستزادة، وليست مصدرًا لأسئلة اختبار رسمي.

قواعد الأسس — Illustrative Mathematics
مرجع تأسيسي بالإنجليزية لمعنى الأس الصفري والسالب وقواعد القوى. أمثلتنا وأسئلتنا أصلية.
التربيع والجذور — Illustrative Mathematics
مرجع إنجليزي للتمييز بين قيمة الجذر التربيعي وحلول معادلة فيها مربع. يضم المرجع موضوعات أوسع من درسنا.
Everything Maths — تقدير الجذور
قسم Estimating surds من مصدر Siyavula التاريخي، إصدار 2012، CC BY 3.0. استُخدم للتحقق من حصر الجذور بين مربعات؛ أسئلة هلا أصلية.