هــــلا

التشابه ومقياس الرسم

عامل واحد للأطوال، ومربعه للمساحات، ومكعبه للحجوم

التكبير يحافظ على النسب، لا على الفروق

في شكلين متشابهين، الزوايا المتناظرة متساوية، وجميع الأطوال المتناظرة تتغير بعامل موجب واحد. إذا ضاعفنا طول مستطيل وعرضه، تضاعف محيطه، لكن مساحته أصبحت أربعة أمثالها. لا يكفي أن يبدو الشكلان متشابهين أو أن يزيد كل ضلع بالمقدار نفسه.

  1. حدد الاتجاه: من الأصل إلى الصورة. اقسم طولًا في الصورة على الطول المناظر له في الأصل لإيجاد معامل القياس ك.
  2. الأطوال والمحيطات تُضرب في ك، والمساحات في ك2. في المجسمات المتشابهة تُضرب مساحات السطح في ك2، والحجوم في ك3.
  3. إذا عرفت نسبة المساحتين، فخذ جذرها التربيعي الموجب لإيجاد ك. ومن نسبة الحجمين، ابحث عن العدد الموجب الذي مكعبه يساويها.
  4. مقياس 1:200 يعني أن كل وحدة طول في الرسم تقابل 200 من الوحدة نفسها في الحقيقة. وحّد الوحدات قبل كتابة النسبة.
  5. راجع التناسب في كل بعد. زيادة طول مستطيل وحده لا تصنع عادةً نسخة مشابهة؛ عندها احسب المساحة من الأبعاد الفعلية.

النسبة بين المساحات ليست النسبة بين الأطوال. كذلك 1 م² يساوي 10000 سم²، لأن المتر يساوي 100 سم في كل من بُعدي المساحة.

من سنتيمترات الخريطة إلى كيلومترات

مقياس خريطة 1:40000. إذا كانت المسافة المرسومة بين نقطتين 7.5 سم، فما المسافة المقابلة في الحقيقة بالكيلومتر؟

  1. كل 1 سم على الخريطة يقابل 40000 سم في الحقيقة، أي 400 م.
  2. المسافة الحقيقية 7.5×400=3000 م.
  3. نقسم على 1000 لتحويل الأمتار إلى كيلومترات:3000÷1000=3 كم.

كل 1 كم يمثل 2.5 سم على هذه الخريطة؛ ثلاثة كيلومترات تمثل 7.5 سم. المسافة هنا المقابلة للخط المرسوم، ولا نفترض أنها طول طريق متعرج.

مساحة معطاة، ومحيط مطلوب

شكلان متشابهان مساحة الصغير 72 سم²، ومساحة الكبير 200 سم². إذا كان محيط الصغير 30 سم، فما محيط الكبير؟

  1. نسبة المساحتين 200/72=25/9.
  2. معامل الأطوال هو الجذر الموجب لهذه النسبة، أي 5/3.
  3. المحيط يتغير مثل الطول:30×5/3=50 سم.

نسبة المحيطين 50/30=5/3، ومربعها 25/9 يساوي نسبة المساحتين. لم نضرب المحيط مباشرة في نسبة المساحة.

غيّر مقياس الطول، وقارن المساحة

مستطيل أصلي أبعاده 4 و3 وحدات. غيّر معامل القياس الموجب لصنع نسخة مشابهة. كل مربع صغير في الرسم وحدة مربعة بالمقياس نفسه في الشكلين. شغّل JavaScript لاستخدام التجربة التفاعلية.

جرّب الفكرة: هل تتضاعف المساحة مع الضلع؟

تدرّب واطبع

ابدأ تدريب هذه الوحدة

أوراق الطالب PDF · دليل الحلول PDF

مكتبة الأوراق والمراجعة للطباعة

ثبّت الفكرة بعد اليوم

  • غدًا: اشرح برسم لماذا تتربع نسبة الأطوال عند حساب نسبة المساحات.
  • بعد ثلاثة أيام: اكتب مقياس رسم بعد تحويل الطول الحقيقي والرسم إلى الوحدة نفسها.
  • بعد أسبوع: أعط مثالًا يتغير فيه بعد واحد فقط، وبيّن لماذا لا تطبق عليه قاعدة التشابه.

مرجع الفكرة وثلاثة أسئلة استرجاع

عن المحتوى والمراجع

أمثلة ورسوم وشروح وأسئلة أصلية من إعداد هلا سكول. المراجع العامة للاستزادة، وليست مصدرًا لأسئلة اختبار رسمي.