المتوسط المرجح ومسائل المزج
اجمع الكمية التي تمثلها النسبة، ثم اقسم على المجموع الجديد
النسبة تصف كمية، ولا تُجمع وحدها
متوسطا مجموعتين مختلفتي الحجم لا يأخذان الوزن نفسه. نعيد أولًا مجموع كل مجموعة بضرب متوسطها في عدد أفرادها، ثم نجمع ونقسم على العدد الكلي. وفي خليط، نضرب نسبة المكوّن في كمية الخليط لنجد كمية ذلك المكوّن. نثبت أساس النسبة: كتلة مع كتلة، أو حجم مع حجم في نموذج ينص على جمع الحجوم.
- حدد ما يمثله الوزن: عدد أشخاص، أو كتلة، أو نسبة مساهمة في نتيجة. وحّد الوحدات قبل الحساب.
- اضرب كل قيمة في وزنها، واجمع النواتج، ثم اقسم على مجموع الأوزان. إذا كانت الأوزان كسورًا مجموعها فلا تحتاج إلى قسمة إضافية.
- لإيجاد كمية مجهولة في خليط، اكتب مساواة: كمية المكوّن قبل المزج تساوي كميته بعد المزج، مع افتراض عدم الفقد.
- بأوزان موجبة، يقع متوسط قيمتين مختلفتين بينهما ويقترب من القيمة ذات الوزن الأكبر. لا يمكن للمزج وحده تجاوز النسبتين.
- عند إزالة جزء من خليط متجانس، يخرج معه المكوّن بالنسبة نفسها. احسب ما بقي أولًا، ثم أضف البديل وراجع المجموع الجديد.
متوسط نسبتين حسابيًا يصلح عند تساوي وزنيهما فقط. وإضافة مادة لا تحتوي المكوّن المطلوب تبقي كميته ثابتة لكنها تكبر المقام؛ أما الاستبدال فيتطلب طرح الجزء المزال أولًا.
سعر الكيلو من التكلفة الكلية
مزج متجر كجم من صنف أرز تكلفته ريالات للكيلو، مع كجم من صنف آخر تكلفته ريالًا للكيلو. دون فقد أو تكلفة إضافية، ما متوسط تكلفة الكيلو في الخليط؟
- تكلفة الكمية الأولى ريالًا، والثانية ريالًا.
- التكلفة الكلية ريالًا، والكتلة الكلية كجم.
- متوسط التكلفة ريالًا للكيلو.
الناتج بين و، وأقرب إلى لأن كمية الصنف الأعلى تكلفة أكبر. هذا متوسط تكلفة، وليس سعر بيع مفروضًا.
اختر الكمية لتحقق النسبة المطلوبة
نسبة الحبوب البنية بالكتلة في خلطة أولى ، وفي خلطة ثانية . نريد كجم من خليط نسبته ، دون فقد. كم كيلوجرامًا نأخذ من الخلطة الثانية؟
- كمية الحبوب البنية المطلوبة كجم.
- نكتب . بتجميع الحدود نحصل على .
- إذن كجم من الثانية، ونأخذ كجم من الأولى.
البنية في الخليط كجم. بقسمتها على نحصل على .
غيّر الكمية، وراقب النسبة الجديدة
لدينا 100 غرام من حبيبات، يشكل اللون الأخضر 20% من كتلتها. نضيف خلطة أخرى نسبة الأخضر فيها 60% بالكتلة. غيّر كتلة الإضافة دون فقد، وقارن كمية الأخضر بالنسبتين الأصليتين. شغّل JavaScript لاستخدام التجربة التفاعلية.
جرّب الفكرة: هل نأخذ متوسط المتوسطين؟
تدرّب واطبع
أوراق الطالب PDF · دليل الحلول PDF
مكتبة الأوراق والمراجعة للطباعة
ثبّت الفكرة بعد اليوم
- غدًا: اشرح لماذا لا نجمع نسبتي خليطين ثم نقسم على 2 دائمًا.
- بعد ثلاثة أيام: اختر متوسطًا مطلوبًا بين قيمتين، وحدد أيهما يحتاج إلى الوزن الأكبر.
- بعد أسبوع: قارن إضافة كمية خالية من المكوّن باستبدال جزء من الخليط بها؛ تتبع كمية المكوّن والمجموع.
مرجع الفكرة وثلاثة أسئلة استرجاع
عن المحتوى والمراجع
أمثلة ورسوم وشروح وأسئلة أصلية من إعداد هلا سكول. المراجع العامة للاستزادة، وليست مصدرًا لأسئلة اختبار رسمي.
- المتوسط المرجح — OpenIntro
ملحق تعليمي بالإنجليزية يوضح إعادة المجموع من متوسط كل مجموعة وحجمها. راجع فقرة Weighted mean في الصفحتين 2 و3؛ بيانات المرجع وأمثلته ليست أسئلة هلا.
- وصف البيانات — Math in Society
مرجع إنجليزي لمفهوم المتوسط وقراءة البيانات، إصدار 2.6. يذكر الفصل David Lippman وJeff Eldridge وOnlineStatBook في إسناده. الأمثلة والأسئلة العربية هنا أصلية.