ملخص الفصل ١: التبرير والبرهان
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ١١)
1-1 التبرير الاستقرائي والتخمين
- التبرير الاستقرائي: الوصول إلى نتيجة عامة (تخمين) من ملاحظة أمثلة أو نمط متكرر.
- التخمين عبارة لم تُثبت بعد؛ ويكفي مثال مضاد واحد لإثبات أنه خاطئ.
1-2 المنطق
- العبارة جملة إما صائبة وإما خاطئة، ونفيها (~p) له عكس قيمة صوابها.
- الوصل (p ∧ q) صائب فقط عندما تكون العبارتان صائبتين.
- الفصل (p ∨ q) خاطئ فقط عندما تكون العبارتان خاطئتين.
1-3 العبارات الشرطية
- العبارة الشرطية «إذا p فإن q»: p الفرض و q النتيجة، وتكون خاطئة فقط عندما يكون الفرض صائبًا والنتيجة خاطئة.
- العكس: إذا q فإن p. المعكوس: إذا ~p فإن ~q. المعاكس الإيجابي: إذا ~q فإن ~p.
- للمعاكس الإيجابي قيمة صواب العبارة الأصلية نفسها، وللعكس قيمة صواب المعكوس نفسها.
1-4 التبرير الاستنتاجي
- التبرير الاستنتاجي يستعمل حقائق وتعريفات وقواعد مقبولة للوصول إلى نتيجة مؤكدة.
- قانون الفصل المنطقي: إذا كانت p → q صائبة وكانت p صائبة، فإن q صائبة.
- قانون القياس المنطقي: إذا كانت p → q و q → r صائبتين، فإن p → r صائبة.
1-5 المسلّمات والبراهين الحرة
- المسلّمة عبارة تُقبل دون برهان، مثل: يمر بأي نقطتين مستقيم واحد فقط.
- النظرية عبارة تُثبت بالبرهان، والبرهان الحر فقرة تشرح خطوة بخطوة لماذا تكون العبارة صحيحة.
- نظرية نقطة المنتصف: إذا كانت M منتصف القطعة AB فإن AM ≅ MB.
1-6 البرهان الجبري
- نبرر كل خطوة في حل المعادلة بخاصية: الجمع، الطرح، الضرب، القسمة، التعويض، التوزيع.
- خصائص المساواة الانعكاسية والتماثل والتعدي تُستعمل أيضًا مع أطوال القطع وقياسات الزوايا.
- البرهان ذو العمودين: العبارات في عمود، والمبررات في العمود المقابل.
1-7 إثبات العلاقات بين القطع المستقيمة
- مسلّمة جمع أطوال القطع المستقيمة: إذا كانت B بين A و C فإن AB + BC = AC.
- تطابق القطع المستقيمة انعكاسي ومتماثل ومتعدٍّ.
1-8 إثبات علاقات بين الزوايا
- مسلّمة جمع قياسات الزوايا: إذا كانت النقطة D داخل ∠ABC فإن m∠ABD + m∠DBC = m∠ABC.
- الزاويتان المتكاملتان مجموع قياسيهما °180، والمتتامتان مجموع قياسيهما °90.
- الزاويتان المتقابلتان بالرأس متطابقتان.
مثال محلول
اكتب العكس والمعكوس والمعاكس الإيجابي للعبارة: «إذا كان الشكل مربعًا فإنه مستطيل»، وحدّد صواب كلٍّ منها.
- العبارة الأصلية صائبة: كل مربع مستطيل.
- العكس: إذا كان الشكل مستطيلًا فإنه مربع — خاطئة؛ مثال مضاد: مستطيل طوله ٤ وعرضه ٢.
- المعكوس: إذا لم يكن الشكل مربعًا فإنه ليس مستطيلًا — خاطئة؛ المثال المضاد نفسه.
- المعاكس الإيجابي: إذا لم يكن الشكل مستطيلًا فإنه ليس مربعًا — صائبة، مثل العبارة الأصلية.
الإجابة: الأصلية والمعاكس الإيجابي صائبتان، والعكس والمعكوس خاطئتان.
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.