ملخص الفصل ٧: التحويلات الهندسية والتماثل
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ١١٧)
7-1 الانعكاس
- الانعكاس حول مستقيم تحويل يحافظ على الأطوال وقياسات الزوايا (تحويل تطابقي).
- في المستوى الإحداثي صورة النقطة (x, y): حول محور x هي (x, −y)، وحول محور y هي (−x, y)، وحول المستقيم y = x هي (y, x).
7-2 الإزاحة (الانسحاب)
- الإزاحة تنقل كل نقطة المسافة نفسها في الاتجاه نفسه: صورة (x, y) هي (x + a, y + b).
- الإزاحة تحويل تطابقي يحافظ على شكل الشكل وقياساته واتجاهه.
7-3 الدوران
- الدوران يدير الشكل حول نقطة ثابتة (مركز الدوران) بزاوية محددة، وهو تحويل تطابقي.
- حول نقطة الأصل عكس اتجاه عقارب الساعة: بزاوية 90° تصبح (x, y) صورتها (−y, x)، وبزاوية 180° صورتها (−x, −y)، وبزاوية 270° صورتها (y, −x).
7-4 تركيب التحويلات الهندسية
- التركيب: تطبيق تحويلين أو أكثر بالتتابع، مثل الانعكاس المنزلق (إزاحة ثم انعكاس حول مستقيم يوازي اتجاه الإزاحة).
- الانعكاس حول مستقيمين متوازيين يكافئ إزاحة، والانعكاس حول مستقيمين متقاطعين يكافئ دورانًا حول نقطة تقاطعهما.
7-5 التماثل
- تماثل الانعكاس: ينطبق الشكل على نفسه بالانعكاس حول مستقيم يسمى محور التماثل.
- تماثل الدوران: ينطبق الشكل على نفسه بدوران أقل من 360°، ورتبة التماثل عدد مرات انطباقه خلال دورة كاملة.
7-6 التمدد
- التمدد يكبّر الشكل أو يصغّره بمعامل k من مركز التمدد، فتكون الصورة مشابهة للشكل الأصلي.
- إذا كان |k| > 1 فالتمدد تكبير، وإذا كان 0 < |k| < 1 فهو تصغير؛ ومن نقطة الأصل صورة (x, y) هي (kx, ky).
مثال محلول
دُوِّر المثلث الذي رؤوسه A(1, 2) و B(4, 2) و C(1, 5) بزاوية 90° عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل. أوجد إحداثيات صور الرؤوس.
- قاعدة الدوران بزاوية 90° حول نقطة الأصل: صورة (x, y) هي (−y, x).
- صورة A(1, 2) هي A′(−2, 1)، وصورة B(4, 2) هي B′(−2, 4).
- صورة C(1, 5) هي C′(−5, 1).
- تحقق: AB = 3 و A′B′ = 3، فالدوران حافظ على الطول ✓
الإجابة: A′(−2, 1) و B′(−2, 4) و C′(−5, 1).
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.