ملخص الفصل ٤: العلاقات في المثلث
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ٢١٣)
4-1 المنصفات في المثلث
- كل نقطة على العمود المنصف لقطعة مستقيمة تبعد البعد نفسه عن طرفيها.
- تلتقي الأعمدة المنصفة لأضلاع المثلث في نقطة تبعد البعد نفسه عن رؤوسه (مركز الدائرة الخارجية).
- تلتقي منصفات زوايا المثلث في نقطة تبعد البعد نفسه عن أضلاعه (مركز الدائرة الداخلية).
4-2 القطع المتوسطة والارتفاعات في المثلث
- القطعة المتوسطة تصل رأسًا بمنتصف الضلع المقابل، وتلتقي القطع المتوسطة الثلاث في مركز المثلث.
- مركز المثلث يقسم كل قطعة متوسطة بنسبة ٢ : ١ من جهة الرأس.
- الارتفاع قطعة عمودية من رأس على الضلع المقابل أو امتداده، وتلتقي الارتفاعات في نقطة واحدة (ملتقى الارتفاعات).
4-3 المتباينات في المثلث
- قياس الزاوية الخارجية أكبر من قياس كلٍّ من الزاويتين الداخليتين البعيدتين.
- في المثلث: الضلع الأطول يقابل الزاوية الأكبر، والزاوية الأكبر يقابلها الضلع الأطول.
4-4 البرهان غير المباشر
- نفترض أن النتيجة المطلوبة خاطئة، ثم نسير منطقيًا حتى نصل إلى تناقض مع معطى أو حقيقة معروفة.
- التناقض يعني أن الافتراض خاطئ، فتكون النتيجة المطلوبة صحيحة.
4-5 متباينة المثلث
- مجموع طولي أي ضلعين في المثلث أكبر من طول الضلع الثالث.
- إذا عُلم طولا ضلعين a و b فإن طول الضلع الثالث x يحقق: الفرق بينهما < x < مجموعهما.
4-6 المتباينات في مثلثين
- متباينة SAS: إذا طابق ضلعان في مثلث ضلعين في مثلث آخر، وكانت الزاوية المحصورة في الأول أكبر، فالضلع الثالث في الأول أطول.
- متباينة SSS (عكسها): إذا كان الضلع الثالث في الأول أطول، فالزاوية المحصورة فيه أكبر.
مثال محلول
هل يمكن أن تكون الأطوال ٤ و ٧ و ١٢ أطوال أضلاع مثلث؟ وإذا كان طولا ضلعين في مثلث ٥ و ٩، فما مدى طول الضلع الثالث؟
- نجمع الضلعين الأقصرين: ٤ + ٧ = ١١، و ١١ أصغر من ١٢، فلا تتحقق متباينة المثلث.
- للضلعين ٥ و ٩: الفرق ٩ − ٥ = ٤، والمجموع ٩ + ٥ = ١٤.
- إذن طول الضلع الثالث x يحقق ٤ < x < ١٤.
الإجابة: لا تصلح ٤ و ٧ و ١٢ أطوالًا لمثلث، وطول الضلع الثالث بين ٤ و ١٤.
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.