ملخص الفصل ٨: الدائرة
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ١٧٧)
8-1 الدائرة ومحيطها
- نصف القطر r يصل المركز بنقطة على الدائرة، والقطر يمر بالمركز وطوله d = 2r.
- محيط الدائرة C = 2πr = πd.
8-2 قياس الزوايا والأقواس
- الزاوية المركزية رأسها مركز الدائرة، وقياس القوس الأصغر يساوي قياس زاويته المركزية.
- مجموع قياسات الزوايا المركزية حول المركز (دون تداخل) 360°.
- طول القوس = (قياس القوس ÷ 360°) × 2πr.
8-3 الأقواس والأوتار
- في الدائرة نفسها أو في دائرتين متطابقتين: يتطابق القوسان الأصغران إذا وفقط إذا تطابق وتراهما.
- القطر (أو نصف القطر) العمودي على وتر ينصّف الوتر وقوسه.
- الوتران المتطابقان متساويا البعد عن المركز.
8-4 الزوايا المحيطية
- قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها.
- الزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة قائمة، والزوايا المحيطية التي تقابل القوس نفسه متطابقة.
- الزاويتان المتقابلتان في شكل رباعي دائري متكاملتان.
8-5 المماسات
- المماس يقطع الدائرة في نقطة واحدة، وهو عمودي على نصف القطر المرسوم إلى نقطة التماس.
- القطعتان المماستان المرسومتان من نقطة خارج الدائرة متطابقتان.
8-6 القاطع والمماس وقياسات الزوايا
- الزاوية الناتجة عن تقاطع وترين داخل الدائرة قياسها نصف مجموع قياسي القوسين المقابلين لها ولمقابلتها بالرأس.
- الزاوية التي رأسها خارج الدائرة (قاطعان، أو قاطع ومماس، أو مماسان) قياسها نصف الفرق بين قياسي القوسين المحصورين.
- الزاوية بين مماس ووتر عند نقطة التماس قياسها نصف قياس القوس المحصور.
8-7 قطع مستقيمة خاصة في الدائرة
- إذا تقاطع وتران داخل الدائرة، فحاصل ضرب طولي جزأي أحدهما يساوي حاصل ضرب طولي جزأي الآخر.
- لقاطعين من نقطة خارج الدائرة: طول الجزء الخارجي × طول القاطع كاملًا متساويان للقاطعين.
- لمماس وقاطع من نقطة خارج الدائرة: مربع طول المماس = طول الجزء الخارجي × طول القاطع كاملًا.
8-8 معادلة الدائرة
- الصورة القياسية لمعادلة الدائرة التي مركزها (h, k) ونصف قطرها r: (x − h)² + (y − k)² = r².
- الدائرة التي مركزها نقطة الأصل معادلتها x² + y² = r².
مثال محلول
اكتب معادلة الدائرة التي مركزها (2, −3) ونصف قطرها 5، ثم حدّد: هل تقع النقطة (5, 1) عليها؟
- نعوّض h = 2 و k = −3 و r = 5 في الصورة القياسية: (x − 2)² + (y + 3)² = 25.
- نعوّض النقطة (5, 1): (5 − 2)² + (1 + 3)² = 9 + 16 = 25.
- الناتج يساوي r² = 25، إذن النقطة تقع على الدائرة ✓
الإجابة: (x − 2)² + (y + 3)² = 25، والنقطة (5, 1) تقع على الدائرة.
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.