ملخص الفصل ١: الدوال والمتباينات

1-1 خصائص الأعداد الحقيقية

• تتكون الأعداد الحقيقية R من الأعداد النسبية Q التي تُكتب على صورة a/b حيث b ≠ 0، والأعداد غير النسبية I مثل π و √2 التي لا تُكتب كسرًا ولا ينتهي عشريها ولا يتكرر.
• تتداخل مجموعات الأعداد: الطبيعية N جزء من الكلية W، والكلية جزء من الصحيحة Z، والصحيحة جزء من النسبية Q.
• تحكم العمليات خصائص أساسية هي: الإبدال والتجميع والعنصر المحايد والنظير والتوزيع، مثل a(b + c) = ab + ac، وتُستعمل لتبسيط العبارات وتبرير خطوات الحل.

راجع صفحة ١٢ في الكتاب

1-2 العلاقات والدوال

• العلاقة مجموعة من الأزواج المرتبة، ومجالها مجموعة الإحداثيات الأولى ومداها مجموعة الإحداثيات الثانية.
• الدالة علاقة يرتبط فيها كل عنصر من المجال بعنصر واحد فقط من المدى، ويُستعمل اختبار الخط الرأسي للتحقق من ذلك بيانيًا.
• تكون الدالة منفصلة إذا كان تمثيلها نقاطًا غير متصلة، ومتصلة إذا كان تمثيلها خطًا أو منحنى دون انقطاع، ويُرمز لقيمتها بالرمز f(x).

راجع صفحة ١٨ في الكتاب

1-3 دوال خاصة

• الدالة متعددة التعريف تُعرَّف بقواعد مختلفة على فترات مختلفة من مجالها، ويُرسم كل جزء منها على فترته فقط.
• دالة أكبر عدد صحيح f(x) = [x] دالة درجية تعطي أكبر عدد صحيح لا يزيد على x، ويظهر تمثيلها البياني على شكل درجات أفقية.
• دالة القيمة المطلقة f(x) = |x| يأخذ تمثيلها البياني شكل الحرف V ورأسه عند نقطة الأصل، وقيمها دائمًا غير سالبة.

راجع صفحة ٢٥ في الكتاب

1-4 تمثيل المتباينات الخطية ومتباينات القيمة المطلقة بيانيًا

• يُرسم أولًا الحد، وهو المستقيم الذي يمثل المعادلة المرتبطة بالمتباينة: يكون متصلًا عند الرمزين ≤ و ≥ لأن نقاطه من الحل، ومتقطعًا عند < و > لأن نقاطه ليست من الحل.
• تُختار نقطة اختبار لا تقع على الحد، فإذا حققت المتباينة ظُلِّل نصف المستوى الذي يحويها، وإلا ظُلِّل النصف الآخر.
• لتمثيل متباينة القيمة المطلقة يُرسم منحنى المعادلة المرتبطة بها على شكل V ثم يُظلَّل الجزء الذي تحققه نقطة الاختبار.

راجع صفحة ٣٢ في الكتاب

1-5 حل أنظمة المتباينات الخطية بيانيًا

• حل نظام المتباينات هو منطقة التقاطع المشتركة بين مناطق حل جميع المتباينات في النظام عند تمثيلها في المستوى نفسه.
• إذا لم تتقاطع المناطق المظللة، كما في متباينتين حدودهما مستقيمان متوازيان ومظللتين في اتجاهين متعاكسين، فلا يوجد حل للنظام.
• تُحدَّد رؤوس منطقة الحل بإيجاد نقاط تقاطع المستقيمات المحدِّدة لها، وذلك بحل معادلتي كل مستقيمين متجاورين منها جبريًا.

راجع صفحة ٣٧ في الكتاب

1-6 البرمجة الخطية والحل الأمثل

• البرمجة الخطية طريقة لإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة الهدف ضمن مجموعة قيود على صورة متباينات خطية تحدد منطقة الحل.
• تكون منطقة الحل محدودة إذا كانت مغلقة كمضلع، وغير محدودة إذا امتدت بلا نهاية، وقد لا توجد عندها قيمة عظمى أو صغرى.
• إذا كانت منطقة الحل محدودة فإن القيمتين العظمى والصغرى لدالة الهدف تقعان دائمًا عند رؤوس هذه المنطقة، لذلك تُعوَّض الرؤوس في الدالة وتُقارن النتائج.

راجع صفحة ٤٤ في الكتاب

مثال محلول

أوجد القيمة العظمى للدالة f(x, y) = 3x + 2y ضمن القيود: x ≥ 0 و y ≥ 0 و x + y ≤ 6 و x ≤ 4.

1. نمثل القيود بيانيًا فنحصل على منطقة حل محدودة رؤوسها (0, 0) و (4, 0) و (4, 2) و (0, 6)، والرأس (4, 2) ناتج من حل x = 4 مع x + y = 6.
2. نعوض كل رأس في دالة الهدف: f(0, 0) = 0 و f(4, 0) = 12 و f(4, 2) = 12 + 4 = 16 و f(0, 6) = 12.
3. نقارن القيم الأربع فنجد أن أكبرها ١٦ عند الرأس (4, 2).
4. تحقق: الرأس (4, 2) يحقق جميع القيود لأن 4 + 2 = 6 ≤ 6 و 4 ≤ 4، فهو نقطة من منطقة الحل.

الإجابة: القيمة العظمى للدالة ١٦ وتتحقق عند x = 4 و y = 2.