ملخص الفصل ٧: الاحتمالات
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ١١٣)
7-1 تمثيل فضاء العينة
- فضاء العينة لتجربة هو مجموعة كل النواتج الممكنة لها، ويمكن تحديده بالقائمة المنظمة أو الجدول أو الرسم الشجري.
- التجربة ذات المرحلتين تتم على مرحلتين، والتجارب التي تحتوي على أكثر من مرحلتين تسمى تجارب متعددة المراحل، ويمكن تمثيل فضاء العينة لها بالرسم الشجري.
- مبدأ العد الأساسي: إذا أمكن وقوع حادثة بـ m طريقة وحادثة أخرى بـ n طريقة، فعدد طرق وقوعهما معًا m × n.
7-2 الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق
- المضروب n! هو حاصل ضرب الأعداد الصحيحة الموجبة من n إلى 1، ويُعرّف 0! = 1.
- التباديل ترتيب يكون فيه الترتيب مهمًّا، وعدد تباديل n عنصرًا مأخوذة r في كل مرة nPr = n!/(n − r)!، أما التباديل الدائرية لـ n عنصرًا فعددها (n − 1)!.
- التوافيق اختيار لا يهم فيه الترتيب، وعددها nCr = n!/((n − r)! r!)، ونستعمل التباديل والتوافيق لحساب الاحتمال.
7-3 الاحتمال الهندسي
- الاحتمال الهندسي احتمال يعتمد على قياسات هندسية كالطول أو المساحة بدلًا من عدّ النواتج.
- إذا وقعت نقطة عشوائيًا على قطعة مستقيمة تحتوي قطعة أصغر، فاحتمال وقوعها على القطعة الصغرى يساوي نسبة طولها إلى طول القطعة الكبرى.
- إذا وقعت نقطة عشوائيًا داخل منطقة، فاحتمال وقوعها في جزء منها يساوي نسبة مساحة ذلك الجزء إلى مساحة المنطقة كلها.
7-4 احتمالات الحوادث المستقلة والحوادث غير المستقلة
- الحادثتان مستقلتان إذا لم يؤثر وقوع إحداهما في احتمال وقوع الأخرى، وعندها P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
- في الحوادث غير المستقلة يتأثر احتمال الثانية بوقوع الأولى، فيكون P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A).
- الاحتمال المشروط P(B|A) هو احتمال وقوع B بشرط وقوع A، ويساوي P(A ∩ B)/P(A)، ويمكن تنظيمه بشجرة الاحتمال.
7-5 احتمالات الحوادث المتنافية
- الحادثتان متنافيتان إذا استحال وقوعهما معًا، وعندها P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
- إذا كانت الحادثتان غير متنافيتين فإن P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) حتى لا تُحسب النواتج المشتركة مرتين.
- الحادثة المتممة للحادثة A تحتوي كل النواتج غير الواقعة في A، واحتمالها يساوي 1 − P(A).
مثال محلول
تُختار لجنة من ٣ طلاب عشوائيًا من بين ٨ طلاب منهم علي وسعد. ما احتمال أن يكون علي وسعد كلاهما في اللجنة؟
- الترتيب غير مهم، فعدد اللجان الممكنة توافيق: 8C3 = 8!/(5! 3!) = (8 × 7 × 6)/6 = 56.
- إذا كان علي وسعد في اللجنة يبقى اختيار عضو واحد من الطلاب الستة الباقين: 6C1 = 6.
- الاحتمال = 6/56 = 3/28.
- تحقق: احتمال اختيار علي 3/8، ثم احتمال اختيار سعد بشرط اختيار علي 2/7، و (3/8) × (2/7) = 6/56 = 3/28.
الإجابة: P = 3/28 ≈ 0.107
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.