ملخص الفصل ٢: المصفوفات

2-1 مقدمة في المصفوفات

• المصفوفة ترتيب مستطيل لأعداد في صفوف وأعمدة توضع بين قوسين، وكل عدد فيها يسمى عنصرًا ويُحدَّد موقعه برقم صفه ورقم عموده.
• رتبة المصفوفة m × n تعني أن فيها m من الصفوف و n من الأعمدة، ومن أنواعها: مصفوفة الصف، ومصفوفة العمود، والمصفوفة المربعة، والمصفوفة الصفرية.
• تتساوى مصفوفتان إذا كان لهما الرتبة نفسها وتساوت عناصرهما المتناظرة، ويُستفاد من ذلك في إيجاد قيم مجهولة.

راجع صفحة ٦٢ في الكتاب

2-2 العمليات على المصفوفات

• لا يمكن جمع مصفوفتين أو طرحهما إلا إذا كانت لهما الرتبة نفسها، ويتم ذلك بجمع العناصر المتناظرة أو طرحها.
• الضرب في عدد ثابت يعني ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في ذلك العدد.
• يحقق جمع المصفوفات خاصيتي الإبدال والتجميع، ويتوزع الضرب في عدد ثابت على الجمع، مثل k(A + B) = kA + kB.

راجع صفحة ٦٩ في الكتاب

2-3 ضرب المصفوفات

• يكون الناتج AB معرفًا فقط إذا كان عدد أعمدة A يساوي عدد صفوف B، فإذا كانت A من الرتبة m × n و B من الرتبة n × p كان الناتج من الرتبة m × p.
• يُحسب العنصر في الصف i والعمود j من الناتج بضرب عناصر الصف i من A في عناصر العمود j من B المتناظرة ثم جمع النواتج.
• ضرب المصفوفات ليس إبداليًا في الغالب، أي أن AB لا تساوي BA عمومًا، لكنه يحقق خاصيتي التجميع والتوزيع.

راجع صفحة ٧٥ في الكتاب

2-4 المحددات وقاعدة كرامر

• لكل مصفوفة مربعة عدد يسمى المحددة، ومحددة المصفوفة من الرتبة الثانية تساوي حاصل ضرب عنصري القطر الرئيس مطروحًا منه حاصل ضرب عنصري القطر الآخر: ad − bc.
• تُحسب محددة الرتبة الثالثة بقاعدة الأقطار، وذلك بإعادة كتابة العمودين الأول والثاني يمين المحددة ثم جمع نواتج أقطار وطرح نواتج أقطار أخرى.
• قاعدة كرامر تحل نظام معادلات خطية بقسمة محددة يُستبدل فيها عمود المتغير بعمود الثوابت على محددة المعاملات، ولا تُستعمل إذا كانت محددة المعاملات صفرًا.

راجع صفحة ٨٣ في الكتاب

2-5 النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية

• مصفوفة الوحدة I مصفوفة مربعة عناصر قطرها الرئيس واحد وبقية عناصرها أصفار، وتحقق AI = IA = A.
• النظير الضربي A⁻¹ للمصفوفة A يحقق AA⁻¹ = A⁻¹A = I، وللرتبة الثانية يُحسب بقسمة العدد ١ على المحددة ad − bc ثم ضربه في المصفوفة بعد تبديل a و d وتغيير إشارتي b و c، ولا يوجد نظير إذا كانت المحددة صفرًا.
• يُكتب نظام المعادلات الخطية على صورة معادلة مصفوفية AX = B، ويكون حله X = A⁻¹B.

راجع صفحة ٩١ في الكتاب

مثال محلول

استعمل قاعدة كرامر لحل النظام: 2x + 3y = 12 و x − y = 1.

1. محددة المعاملات: |C| = (2)(−1) − (3)(1) = −2 − 3 = −5، وهي لا تساوي صفرًا فيمكن استعمال القاعدة.
2. نستبدل عمود x بالثوابت: |Cx| = (12)(−1) − (3)(1) = −15، إذن x = −15 / −5 = 3.
3. نستبدل عمود y بالثوابت: |Cy| = (2)(1) − (12)(1) = −10، إذن y = −10 / −5 = 2.
4. تحقق: 2(3) + 3(2) = 6 + 6 = 12 و 3 − 2 = 1، فالحل يحقق المعادلتين.

الإجابة: حل النظام هو (3, 2)، أي x = 3 و y = 2.