ملخص الفصل ٤: العلاقات والدوال العكسية والجذرية

أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ١٧٧)

4-1 العمليات على الدوال

يمكن جمع دالتين وطرحهما وضربهما وقسمتهما: (f + g)(x) = f(x) + g(x)، و (f/g)(x) = f(x)/g(x) بشرط g(x) ≠ 0، ومجال الناتج هو تقاطع المجالين.
تركيب دالتين [f ∘ g](x) = f(g(x)) يعني تعويض ناتج g في f، ويجب أن يقع مدى g ضمن مجال f.
ترتيب التركيب مهم، فالدالة f(g(x)) لا تساوي g(f(x)) في الغالب.

العلاقة العكسية تنتج بتبديل إحداثيي كل زوج مرتب، فإذا كانت (a, b) في العلاقة كانت (b, a) في عكسها.
لإيجاد الدالة العكسية f⁻¹ نبدل x و y في معادلة الدالة ثم نحل المعادلة بالنسبة إلى y، والتمثيل البياني للدالة وعكسها متماثلان حول المستقيم y = x.
تكون الدالتان f و g عكسيتين إذا وفقط إذا كان f(g(x)) = x و g(f(x)) = x، ويكون عكس الدالة دالة إذا نجحت في اختبار الخط الأفقي.

دالة الجذر التربيعي تحتوي المتغير تحت علامة الجذر، والدالة الرئيسة لها f(x) = √x مجالها ومداها الأعداد الحقيقية غير السالبة.
لتمثيل دالة الجذر التربيعي بيانيًا يُحدَّد مجالها بجعل ما تحت الجذر غير سالب، ثم يُعمل جدول قيم يبدأ من أصغر قيمة في المجال، ومنه يُحدَّد المدى، فمثلًا y = √(x − 2) + 5 مجالها x ≥ 2 ومداها y ≥ 5.
تُمثَّل متباينة الجذر التربيعي برسم منحنى الدالة المرتبطة ثم تظليل المنطقة المناسبة باستعمال نقطة اختبار، مع مراعاة أن ما تحت الجذر لا يكون سالبًا.

إذا كان aⁿ = b فإن a جذر نوني للعدد b، ويُرمز للجذر النوني الرئيس بالرمز ⁿ√b، حيث n دليل الجذر و b ما تحت الجذر.
إذا كان الدليل زوجيًا فللعدد الموجب جذران حقيقيان أحدهما موجب والآخر سالب، ولا يوجد جذر حقيقي للعدد السالب، أما إذا كان الدليل فرديًا فلكل عدد حقيقي جذر حقيقي واحد.
عند أخذ جذر زوجي لقوة زوجية وكان الناتج قوة فردية للمتغير نستعمل القيمة المطلقة لضمان أن الناتج غير سالب، مثل √(x²) = |x|.

خاصية الضرب: ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b بشرط أن يكون a و b غير سالبين إذا كان الدليل n زوجيًا، وخاصية القسمة: ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b حيث b ≠ 0، وبهما تُبسَّط الجذور.
تكون العبارة الجذرية في أبسط صورة إذا كان الدليل أصغر ما يمكن، ولم يكن تحت الجذر عامل هو قوة نونية، ولا كسور تحت الجذر، ولا جذور في المقام.
يُنطَّق المقام بضرب البسط والمقام في جذر مناسب، أو في المرافق مثل a√b + c√d و a√b − c√d عندما يكون المقام ثنائي حد، وتُجمع الجذور المتشابهة فقط وهي التي لها الدليل نفسه وما تحت الجذر نفسه.

الأس النسبي يعبر عن الجذر: b^(1/n) = ⁿ√b، وبصورة عامة b^(m/n) = (ⁿ√b)^m = ⁿ√(b^m).
تنطبق قوانين الأسس الصحيحة على الأسس النسبية، فتُجمع الأسس عند ضرب القوى ذات الأساس نفسه وتُطرح عند القسمة.
تكون العبارة ذات الأسس النسبية في أبسط صورة إذا لم تحتوِ أسسًا سالبة، ولا أسسًا كسرية في المقام، ولم تكن عبارة مركبة.

المعادلة الجذرية تحتوي متغيرًا تحت علامة الجذر، وتُحل بعزل الجذر في أحد الطرفين ثم رفع الطرفين إلى قوة تساوي دليل الجذر ثم حل المعادلة الناتجة.
رفع الطرفين لقوة قد يُنتج حلولًا دخيلة لا تحقق المعادلة الأصلية، لذلك يجب التحقق من كل حل بالتعويض.
عند حل المتباينة الجذرية ذات الدليل الزوجي يُضاف شرط أن يكون ما تحت الجذر غير سالب، ثم تُحل المتباينة ويُتحقق من الفترات بالتعويض.

حل المعادلة √(x + 5) = x − 1، وبيّن إن كان لها حل دخيل.

الجذر معزول في الطرف الأيمن، فنربع الطرفين: x + 5 = (x − 1)² = x² − 2x + 1.
نجمع الحدود في طرف واحد: x² − 3x − 4 = 0، ونحلل: (x − 4)(x + 1) = 0، إذن x = 4 أو x = −1.
تحقق من x = 4: √(4 + 5) = √9 = 3 و 4 − 1 = 3، فالحل صحيح.
تحقق من x = −1: √(−1 + 5) = √4 = 2 بينما −1 − 1 = −2، والطرفان غير متساويين فهذا حل دخيل.

الإجابة: حل المعادلة x = 4 فقط، والقيمة x = −1 حل دخيل.

ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.