ملخص الفصل ٨: حساب المثلثات
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ١٥٧)
8-1 الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية
- النسب المثلثية لزاوية حادة θ في مثلث قائم: sin θ = المقابل/الوتر، cos θ = المجاور/الوتر، tan θ = المقابل/المجاور.
- دوال المقلوب هي csc θ = 1/sin θ و sec θ = 1/cos θ و cot θ = 1/tan θ.
- نستعمل الدوال المثلثية ومعكوساتها لحل المثلث القائم وإيجاد أطوال مجهولة في مسائل زاويتي الارتفاع والانخفاض.
8-2 الزوايا وقياساتها
- الزاوية في الوضع القياسي رأسها نقطة الأصل وضلع ابتدائها على الجزء الموجب من المحور x، ويحدد قياسها مقدار الدوران واتجاهه.
- يكون القياس موجبًا عند الدوران عكس عقارب الساعة وسالبًا مع عقاربها، والزوايا المشتركة في ضلع الانتهاء تختلف بمضاعفات 360°.
- الراديان وحدة لقياس الزوايا حيث 180° = π راديان، وطول القوس في دائرة نصف قطرها r يساوي s = rθ عندما θ بالراديان.
8-3 الدوال المثلثية للزوايا
- إذا وقعت النقطة P(x, y) على ضلع انتهاء الزاوية θ وكان r = √(x² + y²) فإن sin θ = y/r و cos θ = x/r و tan θ = y/x.
- الزاوية المرجعية هي الزاوية الحادة المحصورة بين ضلع الانتهاء والمحور x، ونستعملها لإيجاد قيم الدوال لأي زاوية.
- تتحدد إشارة كل دالة مثلثية بالربع الذي يقع فيه ضلع الانتهاء، والزاوية الربعية يقع ضلع انتهائها على أحد المحورين.
8-4 قانون الجيوب
- مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب طولي ضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما، مثل Area = (1/2) bc sin A.
- قانون الجيوب: sin A / a = sin B / b = sin C / c، ويُستعمل لحل المثلث إذا عُلم قياسا زاويتين وطول ضلع.
- عند معلومية ضلعين وزاوية غير محصورة بينهما قد يكون للمثلث حل واحد أو حلان أو لا يوجد حل، وتسمى الحالة الغامضة.
8-5 قانون جيوب التمام
- قانون جيوب التمام: a² = b² + c² − 2bc cos A، وبالمثل للضلعين الآخرين.
- يُستعمل قانون جيوب التمام لحل المثلث إذا عُلمت أطوال أضلاعه الثلاثة أو طولا ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما.
- نختار القانون المناسب حسب المعطيات، فإذا كانت المعطيات ضلعين وزاوية محصورة أو ثلاثة أضلاع نبدأ بقانون جيوب التمام.
8-6 الدوال الدائرية
- دائرة الوحدة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 1، وإذا قطع ضلع انتهاء الزاوية θ الدائرة في P(x, y) فإن cos θ = x و sin θ = y.
- الدالتان الجيب وجيب التمام دالتان دائريتان، وهما دوريتان طول دورتهما 2π أو 360°.
- الدالة الدورية تتكرر قيمها على فترات منتظمة، وأقصر مسافة أفقية يتكرر بعدها النمط تسمى طول الدورة.
8-7 تمثيل الدوال المثلثية بيانيًا
- للدالتين y = a sin bθ و y = a cos bθ سعة تساوي |a| وطول دورة يساوي 360°/|b| أو 2π/|b|.
- السعة نصف الفرق بين القيمة العظمى والقيمة الصغرى للدالة، والتردد عدد الدورات في وحدة الزمن، وهو مقلوب طول الدورة.
- الدالة y = a tan bθ طول دورتها 180°/|b| أو π/|b|، ولا سعة لها، ولها خطوط تقارب رأسية.
8-8 الدوال المثلثية العكسية
- نقيّد مجال الدوال المثلثية بقيم أساسية لتصبح لها دوال عكسية، فتُكتب الدوال المقيدة Sin و Cos و Tan بحرف كبير.
- y = Sin⁻¹ x تعطي زاوية بين −90° و 90°، و y = Cos⁻¹ x تعطي زاوية بين 0° و 180°، و y = Tan⁻¹ x تعطي زاوية بين −90° و 90° دون الطرفين.
- نستعمل الدوال المثلثية العكسية لحل المعادلات المثلثية وإيجاد قياس زاوية علمت قيمة إحدى دوالها.
مثال محلول
في المثلث ABC، إذا كان A = 30° و B = 45° و a = 10، فأوجد طول الضلع b.
- المعطيات زاويتان وضلع، فنستعمل قانون الجيوب: sin A / a = sin B / b.
- نعزل b: b = a sin B / sin A = 10 × sin 45° / sin 30°.
- نعوّض القيم: b = 10 × (√2/2) ÷ (1/2) = 10√2 ≈ 14.14.
- تحقق: a / sin A = 10 / 0.5 = 20، و b / sin B = 10√2 ÷ (√2/2) = 20، فالنسبتان متساويتان.
الإجابة: b = 10√2 ≈ 14.14
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.