ملخص الفصل ٣: كثيرات الحدود ودوالها

أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ١٠٧)

3-1 الأعداد المركبة

الوحدة التخيلية i تعرَّف بأنها الجذر التربيعي الرئيس للعدد −1، أي i² = −1، وبها نكتب الجذور التربيعية للأعداد السالبة مثل √−9 = 3i.
العدد المركب يُكتب على الصورة a + bi، حيث a الجزء الحقيقي و b الجزء التخيلي، ويتساوى عددان مركبان إذا تساوى جزآهما الحقيقيان والتخيليان.
تُجمع الأعداد المركبة وتُطرح بجمع الأجزاء المتشابهة، وتُقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام، لأن حاصل ضرب العددين المترافقين a + bi و a − bi عدد حقيقي.

القانون العام يعطي حلول أي معادلة تربيعية ax² + bx + c = 0 حيث a ≠ 0: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a.
المميز هو المقدار b² − 4ac الموجود تحت الجذر، ويحدد عدد الحلول ونوعها دون حل المعادلة.
إذا كان المميز موجبًا فللمعادلة جذران حقيقيان مختلفان (نسبيان إذا كان مربعًا كاملًا والمعاملات نسبية)، وإذا كان صفرًا فلها جذر حقيقي واحد مكرر، وإذا كان سالبًا فلها جذران مركبان مترافقان.

تُبسط وحيدات الحد بقوانين الأسس، مثل: ضرب القوى بجمع الأسس، وقسمتها بطرح الأسس، وقوة القوة بضرب الأسس، و a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
كثيرة الحدود مجموع وحيدات حد، ودرجتها أكبر درجة لأي حد فيها.
تُجمع كثيرات الحدود وتُطرح بجمع الحدود المتشابهة، وتُضرب باستعمال خاصية التوزيع لضرب كل حد في الأولى في كل حد في الثانية.

تُقسم كثيرة الحدود على وحيدة حد بقسمة كل حد فيها على وحيدة الحد.
القسمة الطويلة لكثيرات الحدود تشبه القسمة الطويلة للأعداد: قسمة فضرب فطرح فإنزال الحد التالي حتى تصبح درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه.
القسمة التركيبية طريقة مختصرة تستعمل المعاملات فقط عندما يكون المقسوم عليه على الصورة x − r، مع وضع صفر مكان كل حد ناقص.

كثيرة الحدود في متغير واحد تُكتب بالصورة القياسية بترتيب الحدود تنازليًا حسب الأسس، ومعامل الحد ذي الدرجة الكبرى يسمى المعامل الرئيس.
سلوك طرفي التمثيل البياني يتحدد بالدرجة والمعامل الرئيس: إذا كانت الدرجة زوجية اتجه الطرفان في الاتجاه نفسه، وإذا كانت فردية اتجها في اتجاهين متعاكسين.
عدد الأصفار الحقيقية لدالة كثيرة حدود من الدرجة n لا يزيد على n، وهي نقاط تقاطع منحناها مع المحور x.

تُحل معادلات كثيرات الحدود بتحليلها إلى عوامل ثم جعل كل عامل يساوي صفرًا، ومن طرق التحليل: إخراج العامل المشترك، والتجميع، والفرق بين مربعين.
يُحلل مجموع مكعبين بالصيغة a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)، والفرق بين مكعبين بالصيغة a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
بعض كثيرات الحدود يمكن كتابتها على الصورة التربيعية a(u)² + b(u) + c حيث u عبارة في x، مثل x⁴ − 5x² + 4، فتُحل كمعادلة تربيعية في u.

نظرية الباقي: باقي قسمة كثيرة الحدود P(x) على x − r يساوي P(r)، ولذلك يمكن إيجاد قيمة الدالة بالتعويض التركيبي.
نظرية العوامل: تكون x − r عاملًا من عوامل P(x) إذا وفقط إذا كان P(r) = 0، أي كان الباقي صفرًا.
بعد إيجاد عامل واحد يكون ناتج القسمة كثيرة حدود أقل درجة يمكن تحليلها لإيجاد بقية العوامل.

العبارات التالية متكافئة لكثيرة الحدود P(x): c صفر للدالة، و c جذر للمعادلة P(x) = 0، و x − c عامل من عواملها، وإذا كان c حقيقيًا فإن (c, 0) نقطة تقاطع مع المحور x.
النظرية الأساسية في الجبر: لكل معادلة كثيرة حدود درجتها أكبر من صفر جذر واحد على الأقل في مجموعة الأعداد المركبة، وعدد جذورها يساوي درجتها مع احتساب الجذور المكررة.
يساعد قانون ديكارت للإشارات في توقع عدد الأصفار الحقيقية الموجبة والسالبة، وإذا كان a + bi صفرًا لدالة معاملاتها حقيقية فإن مرافقه a − bi صفر لها أيضًا.

استعمل المميز لتحديد نوع جذري المعادلة x² − 4x + 13 = 0، ثم حلها باستعمال القانون العام.

نحدد المعاملات: a = 1 و b = −4 و c = 13.
نحسب المميز: b² − 4ac = (−4)² − 4(1)(13) = 16 − 52 = −36، وهو سالب فللمعادلة جذران مركبان مترافقان.
نعوض في القانون العام: x = (4 ± √−36) / 2 = (4 ± 6i) / 2 = 2 ± 3i.
تحقق: (2 + 3i)² − 4(2 + 3i) + 13 = (4 + 12i − 9) − 8 − 12i + 13 = 0.

الإجابة: للمعادلة جذران مركبان مترافقان هما 2 + 3i و 2 − 3i.

ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.