ملخص الفصل ٥: العلاقات والدوال النسبية
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ١١)
5-1 ضرب العبارات النسبية وقسمتها
- العبارة النسبية هي ناتج قسمة كثيرة حدود على كثيرة حدود أخرى، وتكون غير معرّفة عند كل قيمة للمتغير تجعل المقام صفرًا.
- نبسّط العبارة النسبية بتحليل البسط والمقام إلى العوامل ثم قسمتهما على العامل المشترك الأكبر بينهما.
- نضرب العبارات النسبية ونقسمها كما نفعل مع الكسور العددية، فالقسمة ضرب في مقلوب المقسوم عليه، والكسر المركب نبسّط بسطه ومقامه كلًّا على حدة.
5-2 جمع العبارات النسبية وطرحها
- لجمع عبارتين نسبيتين أو طرحهما نوحّد المقامات أولًا بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لكثيرات الحدود في المقامات.
- بعد توحيد المقامات نجمع البسوط أو نطرحها مع إبقاء المقام المشترك، ثم نبسّط الناتج إن أمكن.
- نجد المضاعف المشترك الأصغر لكثيرات الحدود بتحليل كل منها إلى عوامله وأخذ كل عامل بأكبر أسّ ظهر به.
5-3 تمثيل دوال المقلوب بيانيًا
- دالة المقلوب دالة على الصورة f(x) = 1/a(x) حيث a(x) دالة خطية لا تساوي صفرًا، والدالة الرئيسة لها f(x) = 1/x وتمثيلها قطع زائد.
- خط التقارب مستقيم يقترب منه التمثيل البياني؛ فيوجد خط تقارب رأسي عند القيمة التي تجعل المقام صفرًا وخط تقارب أفقي.
- الدالة f(x) = a/(x − h) + k تحويل للدالة الرئيسة، خط تقاربها الرأسي x = h وخط تقاربها الأفقي y = k.
5-4 تمثيل الدوال النسبية بيانيًا
- الدالة النسبية على الصورة f(x) = a(x)/b(x) حيث a(x) و b(x) كثيرتا حدود و b(x) لا تساوي صفرًا.
- أصفار الدالة النسبية هي قيم x التي تجعل البسط صفرًا ولا تجعل المقام صفرًا، وخطوط التقارب الرأسية عند أصفار المقام التي لا تُصفّر البسط.
- نحدد خط التقارب الأفقي بمقارنة درجتي البسط والمقام، وإذا كان للبسط والمقام عامل مشترك ظهرت نقطة انفصال على شكل فجوة في التمثيل.
5-5 دوال التغير
- في التغير الطردي تكون y = kx حيث k ثابت التغير لا يساوي صفرًا، وفي التغير المشترك تكون y = kxz.
- في التغير العكسي يكون حاصل ضرب الكميتين ثابتًا، أي xy = k أو y = k/x.
- التغير المركب يجمع أكثر من نوع، فتتغير كمية طرديًا أو عكسيًا أو كليهما معًا مع كميتين أخريين أو أكثر.
5-6 حل المعادلات والمتباينات النسبية
- لحل المعادلة النسبية نضرب طرفيها في المضاعف المشترك الأصغر للمقامات للتخلص منها، ثم نحل المعادلة الناتجة.
- نتحقق من كل حل لأن بعض الحلول قد تجعل أحد المقامات صفرًا فتكون حلولًا دخيلة نستبعدها.
- لحل المتباينة النسبية نجد القيم المستثناة وحلول المعادلة المرتبطة، ونقسم بها خط الأعداد إلى فترات ونختبر قيمة من كل فترة.
مثال محلول
إذا تغيّرت y عكسيًا مع x، وكانت y = 12 عندما x = 3، فما قيمة y عندما x = 9؟
- في التغير العكسي يكون xy = k، فنعوّض القيم المعطاة: k = 3 × 12 = 36.
- نكتب معادلة التغير: y = 36/x.
- نعوّض x = 9: y = 36/9 = 4.
- تحقق: 9 × 4 = 36، وهو ثابت التغير نفسه، فالحل صحيح.
الإجابة: y = 4
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.