ملخص الفصل ٦: المتتابعات والمتسلسلات
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ٦٥)
6-1 المتتابعات بوصفها دوال
- المتتابعة مجموعة أعداد مرتبة يسمى كل منها حدًّا، ويمكن النظر إليها بوصفها دالة مجالها مجموعة الأعداد الطبيعية أو مجموعة جزئية منها، ومداها الحدود.
- المتتابعة الحسابية يكون الفرق بين كل حدّين متتاليين فيها ثابتًا ويسمى أساسها (الفرق المشترك d)، وتمثيلها البياني نقاط على مستقيم.
- المتتابعة الهندسية تكون النسبة بين كل حدّ والحدّ الذي يسبقه ثابتة وتسمى أساسها (النسبة المشتركة r).
6-2 المتتابعات والمتسلسلات الحسابية
- الحدّ النوني في المتتابعة الحسابية يعطى بالصيغة an = a1 + (n − 1)d حيث n عدد صحيح موجب.
- الأوساط الحسابية هي الحدود الواقعة بين حدّين غير متتاليين في متتابعة حسابية، والمتسلسلة هي مجموع حدود المتتابعة.
- مجموع أول n حدًّا في متسلسلة حسابية Sn = n/2 (a1 + an) أو Sn = n/2 [2a1 + (n − 1)d]، ويمكن كتابته برمز المجموع Σ.
6-3 المتتابعات والمتسلسلات الهندسية
- الحدّ النوني في المتتابعة الهندسية يعطى بالصيغة an = a1 · r^(n−1).
- الأوساط الهندسية هي الحدود الواقعة بين حدّين غير متتاليين في متتابعة هندسية.
- مجموع أول n حدًّا في متسلسلة هندسية Sn = a1(1 − r^n)/(1 − r) أو Sn = (a1 − an·r)/(1 − r) بشرط r ≠ 1.
6-4 المتسلسلات الهندسية اللانهائية
- المتسلسلة الهندسية اللانهائية تكون متقاربة ولها مجموع إذا كانت |r| < 1، وتكون متباعدة بلا مجموع إذا كانت |r| ≥ 1.
- مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية المتقاربة يعطى بالصيغة S = a1/(1 − r).
- يمكن كتابة الكسر العشري الدوري في صورة كسر اعتيادي بالنظر إليه كمتسلسلة هندسية لانهائية.
6-5 نظرية ذات الحدين
- مثلث باسكال يعطي معاملات حدود مفكوك (a + b)^n، ويحتوي المفكوك على n + 1 حدًّا.
- في كل حدّ من المفكوك تتناقص أسس a من n إلى صفر وتتزايد أسس b من صفر إلى n، ومجموع الأسين في كل حدّ يساوي n.
- تنص نظرية ذات الحدين على أن معامل الحدّ الذي يحتوي a^(n−k) b^k يساوي n!/((n − k)! k!).
6-6 البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي
- مبدأ الاستقراء الرياضي أسلوب لبرهنة صحة عبارة رياضية لجميع الأعداد الطبيعية.
- خطوات البرهان: نثبت صحة العبارة عند n = 1، ثم نفترض صحتها عند n = k (فرضية الاستقراء)، ثم نثبت صحتها عند n = k + 1.
- لإثبات أن عبارة غير صحيحة يكفي إيجاد مثال مضاد واحد لا تتحقق عنده.
مثال محلول
متسلسلة حسابية حدّها الأول 5 وأساسها 3. أوجد الحدّ العشرين ومجموع أول ٢٠ حدًّا.
- نستعمل صيغة الحدّ النوني: a20 = 5 + (20 − 1) × 3 = 5 + 57 = 62.
- نستعمل صيغة المجموع: S20 = 20/2 × (5 + 62) = 10 × 67 = 670.
- تحقق بالصيغة الأخرى: S20 = 20/2 × [2 × 5 + 19 × 3] = 10 × (10 + 57) = 670، فالنتيجتان متطابقتان.
الإجابة: الحدّ العشرون 62، ومجموع أول ٢٠ حدًّا 670.
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.