ملخص الفصل ١: تحليل الدوال
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ٩)
1-1 الدوال
- تتفرع مجموعة الأعداد الحقيقية R إلى مجموعات جزئية هي الطبيعية والكلية والصحيحة والنسبية وغير النسبية، ونصفها بالصفة المميزة للمجموعة أو برمز الفترة.
- الدالة علاقة تربط كل عنصر من مجالها بعنصر واحد فقط من المدى، ونكشف ذلك في التمثيل البياني باختبار الخط الرأسي.
- الدالة متعددة التعريف تُعطى بأكثر من قاعدة، لكل قاعدة جزء محدد من المجال، ونفرق فيها بين المتغير المستقل والمتغير التابع.
1-2 تحليل التمثيلات البيانية للدوال والعلاقات
- أصفار الدالة هي قيم x التي تجعل f(x) = 0، وهي المقاطع السينية لمنحناها وجذور المعادلة المرافقة لها.
- قد يكون المنحنى متماثلًا حول المحور x أو حول المحور y أو حول نقطة الأصل.
- الدالة الزوجية تحقق f(−x) = f(x) ومنحناها متماثل حول المحور y، والدالة الفردية تحقق f(−x) = −f(x) ومنحناها متماثل حول نقطة الأصل.
1-3 الاتصال والنهايات
- إذا اقتربت قيم f(x) من قيمة واحدة L عندما تقترب x من c من الجهتين، فإن نهاية الدالة عند c تساوي L.
- الدالة غير المتصلة قد يكون عدم اتصالها لا نهائيًّا أو قفزيًّا أو قابلًا للإزالة، والاتصال عند نقطة يتطلب وجود القيمة والنهاية وتساويهما.
- نصف سلوك طرفي التمثيل البياني بدراسة قيم f(x) عندما تزداد x أو تتناقص بلا حدود.
1-4 القيم القصوى ومتوسط معدل التغير
- تكون الدالة متزايدة أو متناقصة أو ثابتة على فترات معينة من مجالها، ونقرأ ذلك من سلوك منحناها من اليسار إلى اليمين.
- القيم القصوى للدالة تشمل العظمى والصغرى المحلية والعظمى والصغرى المطلقة، وتقع القيم القصوى المحلية عند النقاط الحرجة التي تتغير عندها الدالة من التزايد إلى التناقص أو العكس.
- متوسط معدل التغير بين نقطتين هو ميل القاطع المار بهما: m = (f(x2) − f(x1)) / (x2 − x1).
1-5 الدوال الرئيسة (الأم) والتحويلات الهندسية
- من الدوال الرئيسة: الثابتة والمحايدة والتربيعية والتكعيبية والجذر التربيعي والمقلوب والقيمة المطلقة وأكبر عدد صحيح.
- التحويلات الهندسية على الدالة الرئيسة هي الانسحاب والانعكاس والتمدد، وينتج عنها عائلة من الدوال المتشابهة في الشكل.
- إضافة ثابت إلى قاعدة الدالة تسحب منحناها رأسيًّا، وإضافته إلى المتغير داخلها تسحبه أفقيًّا، والضرب في عدد سالب يعكسه.
1-6 العمليات على الدوال وتركيب دالتين
- حاصل جمع دالتين أو طرحهما أو ضربهما أو قسمتهما دالة جديدة، مجالها تقاطع المجالين مع استبعاد أصفار المقام في القسمة.
- تركيب دالتين [f ∘ g](x) = f(g(x)) يعني التعويض بناتج g في f، ويشترط أن يقع g(x) داخل مجال f.
1-7 العلاقات والدوال العكسية
- تكون العلاقتان A و B عكسيتين إذا وفقط إذا كان وجود الزوج (a, b) في إحداهما يعني وجود (b, a) في الأخرى.
- تكون الدالتان f و f⁻¹ عكسيتين إذا تحقق f(f⁻¹(x)) = x و f⁻¹(f(x)) = x، ومنحناهما متماثلان حول المستقيم y = x.
- يكون للدالة دالة عكسية إذا كانت متباينة، أي اجتاز منحناها اختبار الخط الأفقي.
مثال محلول
أوجد متوسط معدل تغير الدالة f(x) = x² − 3x على الفترة [1, 4].
- نحسب قيمة الدالة عند طرفي الفترة: f(1) = 1 − 3 = −2، و f(4) = 16 − 12 = 4.
- نطبق قانون ميل القاطع: m = (f(4) − f(1)) / (4 − 1) = (4 − (−2)) / 3.
- نبسط: m = 6 / 3 = 2.
- تحقق: المستقيم المار بالنقطتين (1, −2) و (4, 4) يرتفع ٦ وحدات عندما تزيد x ثلاث وحدات، أي وحدتين لكل وحدة.
الإجابة: متوسط معدل التغير يساوي ٢.
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.