ملخص الفصل ٨: النهايات والاشتقاق
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ١٢٧)
8-1 تقدير النهايات بيانيًا
- تكون نهاية f(x) عندما تقترب x من c موجودة إذا وفقط إذا كانت النهايتان من اليمين ومن اليسار موجودتين ومتساويتين.
- لا توجد النهاية إذا اقتربت الدالة من قيمتين مختلفتين من الجهتين، أو تزايدت أو تناقصت بلا حدود، أو تذبذبت بين قيمتين مختلفتين.
- تقدر النهاية من التمثيل البياني وتعزز بجدول قيم يقترب فيه x من c من الجهتين، ولا تعتمد النهاية على قيمة f(c)، كما تقدر نهاية الدالة عندما تقترب x من المالانهاية.
8-2 حساب النهايات جبريًا
- يمكن إيجاد نهايات كثيرات الحدود ومعظم الدوال النسبية بالتعويض المباشر إذا كان المقام لا يساوي صفرًا عند النقطة.
- إذا أعطى التعويض الصيغة غير المحددة 0/0 نبسط العبارة جبريًا بالتحليل واختصار العوامل المشتركة أو بإنطاق البسط أو المقام ثم نعوض.
- تستعمل خصائص النهايات (المجموع والفرق والضرب في ثابت والضرب والقسمة والقوة والجذر النوني) لحساب النهايات، كما تحسب نهايات كثيرات الحدود والدوال النسبية عند المالانهاية.
8-3 المماس والسرعة المتجهة
- ميل المماس لمنحنى الدالة عند النقطة (x, f(x)) يساوي معدل التغير اللحظي، ويساوي m نهاية [f(x + h) - f(x)] / h عندما يقترب h من 0.
- السرعة المتوسطة المتجهة هي التغير في المسافة مقسومًا على التغير في الزمن خلال فترة، أما السرعة المتجهة اللحظية فهي نهاية السرعة المتوسطة المتجهة عندما تقترب الفترة من الصفر.
- قسمة الفرق [f(x + h) - f(x)] / h تمثل ميل القاطع، وتؤول إلى ميل المماس عندما يقترب h من الصفر.
8-4 المشتقات
- مشتقة الدالة f(x) هي f'(x)، وتساوي نهاية [f(x + h) - f(x)] / h عندما يقترب h من 0، وتسمى عملية إيجادها الاشتقاق، والمعادلة التي تحوي مشتقات تسمى معادلة تفاضلية.
- قاعدة القوة: إذا كان f(x) = xⁿ فإن f'(x) = n xⁿ⁻¹، ومشتقة الثابت صفر، ومشتقة مجموع دالتين تساوي مجموع مشتقتيهما.
- تستعمل قاعدتا الضرب والقسمة لاشتقاق حاصل ضرب دالتين أو ناتج قسمتهما.
8-5 المساحة تحت المنحنى والتكامل
- تقرب المساحة تحت المنحنى بتقسيم الفترة إلى مستطيلات متساوية العرض Δx = (b - a)/n وجمع مساحاتها، وتسمى الطريقة مجموع ريمان الأيمن عند أخذ الارتفاع من الطرف الأيمن.
- المساحة الدقيقة بين منحنى الدالة والمحور x على الفترة [a, b] هي التكامل المحدد ∫ f(x) dx من a إلى b، ويساوي نهاية مجموع ريمان عندما يقترب n من اللانهاية.
- العددان a و b يسميان الحد الأدنى والحد الأعلى للتكامل، و x_i = a + iΔx هو الطرف الأيمن للمستطيل رقم i.
8-6 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل
- تسمى F(x) دالة أصلية للدالة f(x) إذا كان F'(x) = f(x)، والدالة الأصلية لـ xⁿ هي xⁿ⁺¹/(n + 1) + C حيث n ≠ -1 و C ثابت.
- التكامل غير المحدد يمثل جميع الدوال الأصلية لدالة ما، ويضاف إليه ثابت التكامل C.
- تنص النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل على أن ∫ f(x) dx من a إلى b = F(b) - F(a) إذا كانت F دالة أصلية للدالة المتصلة f.
مثال محلول
إذا كان f(x) = 4x³ - 2x، فأوجد f'(x) ثم احسب ميل المماس لمنحنى الدالة عند x = 2.
- نطبق قاعدة القوة على كل حد: مشتقة 4x³ هي 4 × 3x² = 12x²، ومشتقة -2x هي -2.
- إذن f'(x) = 12x² - 2.
- نعوض x = 2: f'(2) = 12 × 4 - 2 = 48 - 2 = 46.
- تحقق بقسمة الفرق: [f(2 + h) - f(2)] / h = 46 + 24h + 4h²، ونهايتها عندما h تقترب من 0 تساوي 46.
الإجابة: f'(x) = 12x² - 2، وميل المماس عند x = 2 يساوي 46.
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.