ملخص الفصل ٧: الاحتمال والإحصاء

أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ٨٥)

7-1 الدراسات التجريبية والمسحية والقائمة على الملاحظة

الدراسة المسحية تجمع بيانات من عينة من المجتمع بالسؤال، والدراسة القائمة على الملاحظة ترصد الأفراد دون تدخل، أما الدراسة التجريبية فتعطي معالجة لمجموعة تجريبية وتقارنها بمجموعة ضابطة.
تكون العينة متحيزة إذا صممت بطريقة تفضل نواتج معينة، وتكون غير متحيزة إذا اختيرت عشوائيًا.
وجود ارتباط بين ظاهرتين لا يعني وجود سببية؛ فالسببية تعني أن حدوث إحداهما سبب مباشر في حدوث الأخرى.

مقاييس النزعة المركزية هي المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال، ويفضل الوسيط عند وجود قيم متطرفة، والمنوال عند تكرار قيم بعينها.
مقاييس التشتت تصف تباعد البيانات، ومنها التباين والانحراف المعياري، ويختلف مقام صيغة الانحراف المعياري بين العينة (n - 1) والمجتمع (n).
يقرب هامش خطأ المعاينة لعينة حجمها n بالقيمة ±1/√n، ويقل هذا الهامش كلما زاد حجم العينة.

الاحتمال المشروط هو احتمال وقوع حادثة إذا علم أن حادثة أخرى قد وقعت، ويكتب P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) بشرط P(A) ≠ 0.
الجدول التوافقي جدول تكراري ذو بعدين، ويسمى ما في كل خلية منسوبًا إلى مجموع صفها أو عمودها أو الجدول كله تكرارًا نسبيًا.
يستعمل الجدول التوافقي لحساب الاحتمال المشروط بقسمة تكرار الخلية على مجموع الصف أو العمود الذي يمثل الشرط.

احتمال النجاح P(S) = s/(s + f) واحتمال الفشل P(F) = f/(s + f)، حيث s عدد مرات النجاح و f عدد مرات الفشل، وتستعمل التباديل والتوافيق لعدّها؛ والمتغير العشوائي متغير يأخذ مجموعة قيم لها احتمالات معلومة، ويكون منفصلًا إذا كان له عدد محدود من القيم.
التوزيع الاحتمالي يحدد احتمال كل قيمة للمتغير العشوائي، ويجب أن يقع كل احتمال بين ٠ و ١ وأن يكون مجموع الاحتمالات ١.
القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي منفصل هي مجموع حواصل ضرب كل قيمة في احتمالها، وتمثل المتوسط على المدى الطويل.

التوزيع الاحتمالي المتصل يصف متغيرًا يأخذ عددًا غير محدود من القيم، والتوزيع الطبيعي منه منحناه على شكل جرس متماثل حول المتوسط.
في التوزيع الطبيعي تقع نحو 68% من البيانات ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط، ونحو 95% ضمن انحرافين، ونحو 99% ضمن ثلاثة انحرافات، وهذا هو القانون التجريبي.
التوزيع الملتوي منحنياته غير متماثلة، فيكون ملتويًا موجبًا أو سالبًا بحسب جهة امتداد ذيله.

تجربة ذات الحدين تتكون من n محاولة مستقلة متكررة لكل منها ناتجان فقط نجاح أو فشل، ويبقى احتمال النجاح p ثابتًا في كل محاولة.
احتمال الحصول على X نجاحًا من n محاولة هو P(X) = nCX · p^X · q^(n - X)، حيث q = 1 - p احتمال الفشل.
متوسط التوزيع ذي الحدين μ = np، وتباينه σ² = npq، وانحرافه المعياري σ = √(npq).

أُلقيت قطعة نقد متزنة ٣ مرات. ما احتمال ظهور الكتابة مرتين بالضبط؟

التجربة ذات حدين لأن المحاولات مستقلة ولكل منها ناتجان: n = 3 و p = 0.5 و q = 0.5 و X = 2.
نعوض في الصيغة: P(2) = 3C2 · (0.5)² · (0.5)¹.
نحسب: 3C2 = 3، و (0.5)² · (0.5) = 0.125، إذن P(2) = 3 × 0.125 = 0.375.
تحقق: احتمالات X = 0, 1, 2, 3 هي 0.125 و 0.375 و 0.375 و 0.125، ومجموعها 1 كما يجب في التوزيع الاحتمالي.

الإجابة: احتمال ظهور الكتابة مرتين بالضبط هو 0.375 أي 37.5%.

ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.