ملخص الفصل ٥: المتجهات
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ٩)
5-1 مقدمة في المتجهات
- الكمية القياسية يحددها مقدار فقط مثل الطول والكتلة، أما الكمية المتجهة فيحددها مقدار واتجاه معًا مثل السرعة المتجهة والقوة.
- يمثل المتجه بقطعة مستقيمة متجهة لها نقطة بداية ونقطة نهاية، وطولها هو مقدار المتجه، ويعبر عن اتجاهه بالزاوية التي يصنعها مع الأفقي أو بالاتجاه الربعي.
- ناتج جمع متجهين يسمى المحصلة، ويمكن إيجادها هندسيًا بقاعدة المثلث أو بقاعدة متوازي الأضلاع، كما يمكن تحليل المتجه إلى مركبتين متعامدتين.
5-2 المتجهات في المستوى الإحداثي
- الصورة الإحداثية لمتجه نقطة بدايته A(x1, y1) ونهايته B(x2, y2) هي 〈x2 - x1, y2 - y1〉، وطوله يحسب بالصيغة |v| = √(v1² + v2²).
- تجمع المتجهات وتطرح بجمع مركباتها المتناظرة أو طرحها، وعند ضرب متجه في عدد حقيقي k تضرب كل مركبة فيه.
- متجه الوحدة طوله ١، ويمكن كتابة أي متجه 〈a, b〉 على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة القياسيين بالشكل a i + b j.
5-3 الضرب الداخلي
- الضرب الداخلي لمتجهين a = 〈a1, a2〉 و b = 〈b1, b2〉 عدد حقيقي يساوي a1 b1 + a2 b2، وليس متجهًا.
- يكون المتجهان متعامدين إذا وفقط إذا كان ضربهما الداخلي صفرًا، وتحسب الزاوية بينهما من العلاقة cos θ = (a · b) / (|a| |b|).
- يستعمل الضرب الداخلي لإيجاد طول متجه من العلاقة u · u = |u|²، ولحساب الشغل الذي تبذله قوة ثابتة F عند تحريك جسم من A إلى B بالصيغة W = F · AB.
5-4 المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد
- يتكون نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد من ثلاثة محاور متعامدة x و y و z، وتقسم المستويات xy و yz و xz الفضاء إلى ثمانية أجزاء يسمى كل منها الثمن، وتمثل النقطة بثلاثي مرتب (x, y, z).
- المسافة بين نقطتين في الفضاء هي الجذر التربيعي لمجموع مربعات فروق إحداثياتهما الثلاثة، ونقطة المنتصف هي متوسط الإحداثيات المتناظرة.
- تكتب المتجهات في الفضاء بالصورة 〈x, y, z〉 أو x i + y j + z k، وتجرى عليها عمليات الجمع والطرح والضرب في عدد كما في المستوى.
5-5 الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء
- الضرب الداخلي لمتجهين في الفضاء هو مجموع حواصل ضرب المركبات المتناظرة الثلاث، ويكونان متعامدين إذا كان الناتج صفرًا.
- الضرب الاتجاهي لمتجهين في الفضاء يعطي متجهًا عموديًا على كل منهما، ويحسب باستعمال محددة من الدرجة الثالثة صفها الأول i و j و k.
- طول ناتج الضرب الاتجاهي يساوي مساحة متوازي الأضلاع المنشأ على المتجهين، والقيمة المطلقة للضرب القياسي الثلاثي تساوي حجم متوازي السطوح.
مثال محلول
إذا كان a = 〈2, 3〉 و b = 〈6, -4〉، فأوجد الضرب الداخلي للمتجهين ثم حدد قياس الزاوية بينهما، وهل هما متعامدان؟
- نطبق تعريف الضرب الداخلي: a · b = a1 b1 + a2 b2 = (2)(6) + (3)(-4).
- نحسب: a · b = 12 - 12 = 0.
- نعوض في قانون الزاوية: cos θ = 0 / (|a| |b|) = 0، ومنه θ = 90°.
- تحقق: |a| = √13 و |b| = √52 كلاهما غير صفري، فالقسمة صحيحة، وناتج الضرب الداخلي صفر يعني أن المتجهين متعامدان.
الإجابة: a · b = 0، والزاوية بين المتجهين 90°، أي أنهما متعامدان.
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.