ملخص الفصل ٤: القطوع المخروطية

4-1 القطوع المكافئة

• القطع المكافئ هو المحل الهندسي لنقاط المستوى التي تبعد البعد نفسه عن نقطة ثابتة تسمى البؤرة ومستقيم ثابت يسمى الدليل.
• صورته القياسية (y − k)² = 4c(x − h) إذا كان أفقيًّا وبؤرته (h + c, k)، و (x − h)² = 4c(y − k) إذا كان رأسيًّا وبؤرته (h, k + c)، والرأس (h, k).
• إشارة c تحدد اتجاه فتحة القطع، والوتر البؤري يمر بالبؤرة عموديًّا على محور التماثل.

راجع صفحة ١٧٢ في الكتاب

4-2 القطوع الناقصة والدوائر

• القطع الناقص مجموعة النقاط التي يكون مجموع بعديها عن البؤرتين ثابتًا، وصورته القياسية (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 عندما يكون المحور الأكبر أفقيًّا.
• العلاقة بين ثوابته c² = a² − b²، والاختلاف المركزي e = c/a يحدد مدى استطالته، فكلما اقترب من الصفر اقترب شكله من الدائرة.
• الدائرة مجموعة النقاط التي تبعد بعدًا ثابتًا عن المركز، ومعادلتها (x − h)² + (y − k)² = r².

راجع صفحة ١٨٠ في الكتاب

4-3 القطوع الزائدة

• القطع الزائد مجموعة النقاط التي تكون القيمة المطلقة للفرق بين بعديها عن البؤرتين ثابتة، وله فرعان وخطا تقارب.
• صورته القياسية (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1 عندما يكون المحور القاطع أفقيًّا، والعلاقة بين ثوابته c² = a² + b².
• الاختلاف المركزي للقطع الزائد e = c/a وهو دائمًا أكبر من ١.

راجع صفحة ١٨٩ في الكتاب

4-4 تحديد أنواع القطوع المخروطية

• الصورة العامة لمعادلة القطع المخروطي هي Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0، ونحولها إلى الصورة القياسية بإكمال المربع إذا كانت B = 0.
• يمكن تحديد نوع القطع بالمميز B² − 4AC: سالب للقطع الناقص أو الدائرة، وصفر للقطع المكافئ، وموجب للقطع الزائد.

راجع صفحة ١٩٨ في الكتاب

مثال محلول

أوجد طولي المحورين والبؤرتين والاختلاف المركزي للقطع الناقص x²/25 + y²/9 = 1.

1. من المعادلة a² = 25 و b² = 9، فيكون a = 5 و b = 3، والمحور الأكبر أفقي طوله 2a = 10، وطول المحور الأصغر 2b = 6.
2. نحسب c من العلاقة c² = a² − b² = 25 − 9 = 16، فيكون c = 4 والبؤرتان (4, 0) و (−4, 0).
3. الاختلاف المركزي e = c/a = 4/5 = 0.8.
4. تحقق: النقطة (0, 3) تقع على القطع، ومجموع بعديها عن البؤرتين √(16 + 9) + √(16 + 9) = 5 + 5 = 10 = 2a.

الإجابة: المحور الأكبر ١٠ والأصغر ٦، والبؤرتان (±4, 0)، و e = 0.8.