ملخص الفصل ٢: العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ٨١)
2-1 الدوال الأسية
- الدالة الأسية تُكتب على الصورة y = a·bˣ حيث a ≠ 0 و b > 0 و b ≠ 1، ويكون المتغير فيها في الأس.
- الدالة f(x) = bˣ دالة نمو أسي إذا كان b > 1، ودالة اضمحلال أسي إذا كان 0 < b < 1.
- يُنمذج النمو والاضمحلال بالصيغتين A(t) = a(1 + r)ᵗ و A(t) = a(1 − r)ᵗ، ويسمى 1 + r عامل النمو و 1 − r عامل الاضمحلال.
2-2 حل المعادلات والمتباينات الأسية
- المعادلة الأسية يظهر فيها المتغير في الأس، ونحلها بكتابة الطرفين بالأساس نفسه ثم مساواة الأسس، لأن bˣ = bʸ إذا وفقط إذا كان x = y.
- في المتباينة الأسية بأساس أكبر من ١ يبقى اتجاه التباين كما هو عند المقارنة بين الأسس، وينعكس إذا كان الأساس بين ٠ و ١.
- تُستعمل صيغة الربح المركب لحساب المبلغ الكلي لرأس مال يُستثمر بمعدل ربح سنوي، وتُضاف أرباحه إلى رأس المال عدة مرات في السنة.
2-3 اللوغاريتمات والدوال اللوغاريتمية
- إذا كان b > 0 و b ≠ 1 و x > 0 فإن log_b x = y يكافئ x = bʸ، فاللوغاريتم هو الأس الذي يُرفع إليه الأساس.
- الدالة اللوغاريتمية y = log_b x هي الدالة العكسية للدالة الأسية y = bˣ، ومنحناهما متماثلان حول المستقيم y = x.
2-4 خصائص اللوغاريتمات
- خاصية الضرب: log_b (xy) = log_b x + log_b y، وخاصية القسمة: log_b (x/y) = log_b x − log_b y.
- خاصية القوة: log_b xᵐ = m·log_b x لأي عدد حقيقي m، وتفيد في تبسيط العبارات وحل المعادلات.
2-5 حل المعادلات والمتباينات اللوغاريتمية
- خاصية المساواة: log_b x = log_b y إذا وفقط إذا كان x = y، فنحذف اللوغاريتم من الطرفين عند تساوي الأساس.
- يجب التحقق من الحلول، فكل قيمة تجعل ما داخل اللوغاريتم صفرًا أو سالبًا تُستبعد.
- خاصية التباين: إذا كان b > 1 فإن log_b x > log_b y إذا وفقط إذا كان x > y، مع بقاء ما داخل اللوغاريتم موجبًا.
2-6 اللوغاريتمات العشرية
- اللوغاريتم العشري هو اللوغاريتم الذي أساسه ١٠، ويُكتب log x دون كتابة الأساس، وتحسبه الآلة الحاسبة مباشرة.
- صيغة تغيير الأساس log_a n = log_b n / log_b a تحول أي لوغاريتم إلى لوغاريتمات عشرية يمكن حسابها.
مثال محلول
حل المعادلة log₂ x + log₂ (x − 2) = 3.
- نجمع اللوغاريتمين بخاصية الضرب: log₂ [x(x − 2)] = 3.
- نحول إلى الصورة الأسية: x(x − 2) = 2³ = 8، أي x² − 2x − 8 = 0.
- نحلل: (x − 4)(x + 2) = 0، فيكون x = 4 أو x = −2، ونستبعد −2 لأن لوغاريتم العدد السالب غير معرف.
- تحقق: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3، وهو الطرف الأيمن.
الإجابة: الحل الوحيد x = 4.
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.