ملخص الفصل ٣: المتطابقات والمعادلات المثلثية
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ١٣٥)
3-1 المتطابقات المثلثية
- المتطابقة المثلثية معادلة صحيحة لجميع قيم المتغير التي يكون عندها كل طرف معرفًا، وتصف العلاقة بين الدوال المثلثية.
- من المتطابقات الأساسية: النسبية مثل tan θ = sin θ / cos θ، والمقلوب مثل csc θ = 1 / sin θ، وفيثاغورس مثل sin² θ + cos² θ = 1.
- متطابقات الزاويتين المتتامتين مثل sin(90° − θ) = cos θ، ومتطابقات الدوال الزوجية والفردية مثل cos(−θ) = cos θ و sin(−θ) = −sin θ.
3-2 إثبات صحة المتطابقات المثلثية
- لإثبات متطابقة نحوّل أحد طرفيها، وغالبًا الأكثر تعقيدًا، حتى يصبح مماثلًا للطرف الآخر باستعمال المتطابقات الأساسية.
- من الاستراتيجيات المفيدة كتابة العبارة بدلالة الجيب وجيب التمام، والتحليل، وتوحيد المقامات، والضرب في المرافق.
3-3 المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما
- لجميع قيم A و B: cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B، و sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B.
- tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)، وتُستعمل هذه الصيغ لإيجاد قيم دقيقة لزوايا مثل 75° و 15° من زوايا معلومة.
3-4 المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها
- متطابقات ضعف الزاوية: sin 2θ = 2 sin θ cos θ، و cos 2θ = cos² θ − sin² θ = 1 − 2 sin² θ = 2 cos² θ − 1.
- متطابقات نصف الزاوية مثل sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ)/2)، وتُحدَّد الإشارة من الربع الذي يقع فيه ضلع الانتهاء للزاوية θ/2.
3-5 حل المعادلات المثلثية
- المعادلة المثلثية صحيحة لقيم معينة فقط من المتغير، بخلاف المتطابقة الصحيحة لجميع القيم.
- نحلها بعزل الدالة المثلثية أو التحليل أو استعمال المتطابقات، ثم نكتب جميع الحلول بإضافة مضاعفات الدورة أو نحصرها في فترة معطاة.
- يجب التحقق من الحلول عند تربيع الطرفين لأن ذلك قد يُدخل حلولًا دخيلة.
مثال محلول
أوجد القيمة الدقيقة لـ cos 75° باستعمال متطابقة مجموع زاويتين.
- نكتب 75° = 45° + 30° ونطبق cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B.
- نعوض: cos 75° = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2).
- نبسط: cos 75° = √6/4 − √2/4 = (√6 − √2)/4.
- تحقق: (2.449 − 1.414)/4 ≈ 0.259، والآلة الحاسبة تعطي cos 75° ≈ 0.2588.
الإجابة: cos 75° = (√6 − √2)/4 ≈ 0.259
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.