ملخص الفصل ٦: الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة

6-1 الإحداثيات القطبية

• في نظام الإحداثيات القطبية تحدد النقطة بالزوج (r, θ)، حيث r المسافة المتجهة من القطب، و θ الزاوية المتجهة المقيسة من المحور القطبي.
• للنقطة الواحدة تمثيلات قطبية لا نهائية، لأن إضافة مضاعفات 360° إلى الزاوية أو تغيير إشارة r مع إضافة 180° يعطي النقطة نفسها.
• المعادلة القطبية معادلة بدلالة الإحداثيات القطبية r و θ، والتمثيل القطبي هو مجموعة كل النقاط (r, θ) التي تحقق المعادلة، فتمثيل r = k دائرة مركزها القطب، وتمثيل θ = k مستقيم يمر بالقطب، وتحسب المسافة بين نقطتين بالصيغة P1P2 = √(r1² + r2² - 2 r1 r2 cos(θ2 - θ1)).

راجع صفحة ٥٢ في الكتاب

6-2 الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات

• الإحداثيات الديكارتية للنقطة P(r, θ) هي x = r cos θ و y = r sin θ.
• لتحويل النقطة P(x, y) إلى إحداثيات قطبية نستعمل r = √(x² + y²)، و θ = Tan⁻¹(y/x) عندما x > 0، ونضيف π إلى الزاوية عندما x < 0.
• يمكن تحويل المعادلة من الصورة القطبية إلى الديكارتية وبالعكس بالتعويض بهذه العلاقات ومعها x² + y² = r².

راجع صفحة ٥٩ في الكتاب

6-3 الأعداد المركبة ونظرية ديموافر

• يمثل العدد المركب a + bi بنقطة في المستوى المركب، وقيمته المطلقة (مقياسه) هي r = √(a² + b²)، وصورته القطبية r(cos θ + i sin θ) حيث θ السعة.
• عند ضرب عددين مركبين في الصورة القطبية تضرب المقاييس وتجمع السعات، وعند القسمة تقسم المقاييس وتطرح السعات.
• تنص نظرية ديموافر على أن [r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)، ولكل عدد مركب غير صفري n من الجذور النونية المختلفة.

راجع صفحة ٦٨ في الكتاب

مثال محلول

حول النقطة المكتوبة بالإحداثيات القطبية (4, 60°) إلى الإحداثيات الديكارتية.

1. نستعمل علاقتي التحويل: x = r cos θ و y = r sin θ مع r = 4 و θ = 60°.
2. نحسب الإحداثي الأفقي: x = 4 cos 60° = 4 × 1/2 = 2.
3. نحسب الإحداثي الرأسي: y = 4 sin 60° = 4 × √3/2 = 2√3.
4. تحقق: r = √(2² + (2√3)²) = √(4 + 12) = √16 = 4، و Tan⁻¹(2√3 / 2) = Tan⁻¹(√3) = 60°.

الإجابة: الإحداثيات الديكارتية للنقطة هي (2, 2√3).