ملخص الفصل ٣: العمليات على الكسور العشرية
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ٨٥)
3-1 تمثيل الكسور العشرية
- الكسور العشرية أعداد لها أرقام في منزلة الأجزاء من عشرة وما بعدها، والفاصلة العشرية تفصل العدد الكلي عن الأجزاء.
- الصيغة اللفظية كتابة العدد بالكلمات، والصيغة القياسية الطريقة المعتادة لكتابته، مثل ٠٫١٢.
- الصيغة التحليلية مجموع نواتج ضرب كل رقم في قيمة منزلته، مثل ٠٫١٢ = (١ × ٠٫١) + (٢ × ٠٫٠١).
3-2 مقارنة الكسور العشرية وترتيبها
- نقارن الكسور العشرية كما نقارن الأعداد الكلية: نكتبها فوق بعضها ونقارن المنازل من اليسار حتى نجد رقمين مختلفين.
- المتباينة جملة رياضية تبيّن أن أحد المقدارين أكبر أو أصغر من الآخر باستعمال الرمزين > و<.
- الكسور العشرية المتكافئة لها القيمة نفسها، مثل ٠٫٨ و٠٫٨٠، فإضافة أصفار عن يمين آخر منزلة لا تغيّر القيمة وتساعد في الترتيب.
3-3 تقريب الكسور العشرية
- لتقريب كسر عشري نضع خطًا تحت رقم المنزلة المطلوبة، ثم ننظر إلى الرقم الذي عن يمينها.
- إذا كان الرقم عن اليمين ٤ أو أقل يبقى الرقم المسطّر كما هو، وإذا كان ٥ أو أكثر نضيف واحدًا إلى الرقم المسطّر، ثم نحذف ما بعده.
3-4 تقدير ناتج جمع الكسور العشرية وطرحها
- نقدّر ناتج الجمع أو الطرح بتقريب كل عدد إلى أقرب عدد كلي ثم نجمع أو نطرح، فمثلًا ٥٫٢٥٤ + ٣٫٤٥٦ قريب من ٥ + ٣ = ٨.
- تجمّع البيانات يُستعمل عندما تكون الأعداد قريبة من عدد واحد، فنقرّبها إليه ثم نضربه في عددها.
- في التقدير للحد الأدنى نثبّت أرقام المنزلة اليسرى فقط ونعدّ باقي الأرقام أصفارًا، فيعطي في الجمع تقديرًا أقل من القيمة الحقيقية.
3-5 جمع الكسور العشرية وطرحها
- لجمع كسرين عشريين أو طرحهما نضع الفاصلتين العشريتين فوق بعضهما، ثم نجمع أو نطرح كما في الأعداد الكلية.
- نضيف أصفارًا عند الحاجة حتى يتساوى عدد المنازل العشرية، مثل كتابة ٦ على صورة ٦٫٠٠ قبل طرح ٤٫٧٨.
- نتحقق من معقولية الناتج بمقارنته بالتقدير، فمثلًا ٦ − ٤٫٧٨ = ١٫٢٢ وهو قريب من ٦ − ٥ = ١.
3-6 ضرب الكسور العشرية في أعداد كلية
- عند ضرب كسر عشري في عدد كلي نضرب كما في الأعداد الكلية، ثم نضع الفاصلة بالتقدير أو بعدّ المنازل العشرية.
- عدد المنازل العشرية في الناتج يساوي عددها في الكسر العشري، وإذا لم يكفِ عدد الأرقام نضيف أصفارًا عن اليسار.
- عند الضرب في ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠ نحرّك الفاصلة يمينًا بعدد الأصفار، فمثلًا ٥٫٧ × ١٠٠٠ = ٥٧٠٠.
3-7 ضرب الكسور العشرية
- لضرب كسر عشري في كسر عشري آخر نضرب كما في الأعداد الكلية ونتجاهل الفاصلة مؤقتًا.
- عدد المنازل العشرية في الناتج يساوي مجموع المنازل العشرية في العددين المضروبين، فمثلًا ٤٫٢ × ٦٫٧ = ٢٨٫١٤.
- نقارن الناتج بالتقدير للتأكد من أن موقع الفاصلة معقول.
3-8 قسمة الكسور العشرية على أعداد كلية
- قسمة كسر عشري على عدد كلي تشبه قسمة الأعداد الكلية، ونضع الفاصلة في الناتج فوق فاصلة المقسوم مباشرة.
- قد نضيف أصفارًا إلى المقسوم لإكمال القسمة، وإذا استمرت القسمة نقرّب الناتج إلى المنزلة المطلوبة.
- نتحقق من صحة الإجابة بضرب ناتج القسمة في المقسوم عليه، فمثلًا ٦٫٨ ÷ ٢ = ٣٫٤ لأن ٣٫٤ × ٢ = ٦٫٨.
3-9 القسمة على كسر عشري
- عند القسمة على كسر عشري نحوّل المقسوم عليه إلى عدد كلي بضربه في ١٠ أو ١٠٠، ونضرب المقسوم في العدد نفسه.
- بعد ذلك نقسم كما في الأعداد الكلية، فمثلًا ١٤٫١٩ ÷ ٢٫٢ تصبح ١٤١٫٩ ÷ ٢٢ = ٦٫٤٥.
- قد نحتاج إلى وضع أصفار في ناتج القسمة أو في المقسوم، ونتحقق بضرب الناتج في المقسوم عليه.
3-10 خطة حل المسألة: التحقق من معقولية الإجابة
- في هذه الخطة نقرّب الأعداد ونقدّر الإجابة لنعرف أي الإجابات المقترحة معقول.
- نستعمل هذه الخطة عندما لا تحتاج المسألة إلى إجابة دقيقة، أو للتأكد من أن الإجابة الدقيقة قريبة من التقدير.
مثال محلول
أوجد ناتج الضرب: ٢٫٤ × ١٫٥.
- نقدّر أولًا: ٢٫٤ قريب من ٢، و١٫٥ قريب من ٢، إذن الناتج قريب من ٢ × ٢ = ٤.
- نضرب كأنهما عددان كليان: ٢٤ × ١٥ = ٣٦٠.
- في العددين منزلتان عشريتان معًا (منزلة في كل عدد)، فنضع الفاصلة بعد منزلتين من اليمين: ٣٫٦٠ = ٣٫٦.
- تحقق: ٣٫٦ قريب من التقدير ٤، و٣٫٦ ÷ ١٫٥ = ٢٫٤.
الإجابة: ٢٫٤ × ١٫٥ = ٣٫٦
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.