ملخص الفصل ١: الجبر: الأعداد النسبية
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ١١)
1-1 الأعداد النسبية
- العدد النسبي هو كل عدد يمكن كتابته على صورة كسر a/b حيث a و b عددان صحيحان و b لا يساوي صفرًا.
- يُحوَّل الكسر الاعتيادي إلى كسر عشري بقسمة البسط على المقام، فينتج كسر عشري منتهٍ مثل 3/4 = 0.75 أو دوري مثل 1/3 = 0.333...
- الكسر العشري المنتهي والكسر العشري الدوري كلاهما عدد نسبي، ويمكن إعادة كتابة كل منهما على صورة كسر اعتيادي.
1-2 مقارنة الأعداد النسبية وترتيبها
- لمقارنة كسرين نوحّد مقاميهما ثم نقارن البسطين، أو نحوّلهما إلى كسور عشرية ونقارنها.
- على خط الأعداد يكون العدد الواقع على اليمين أكبر من العدد الواقع على يساره، فمثلًا -0.5 > -0.75
- لترتيب مجموعة من الأعداد النسبية نكتبها جميعًا بصورة واحدة (كسور عشرية مثلًا) ثم نرتبها تصاعديًا أو تنازليًا.
1-3 ضرب الأعداد النسبية
- لضرب كسرين نضرب البسط في البسط والمقام في المقام: (a/b) × (c/d) = ac/bd، ويُفضَّل الاختصار قبل الضرب.
- ناتج ضرب عددين لهما الإشارة نفسها موجب، وناتج ضرب عددين مختلفين في الإشارة سالب.
- لضرب الأعداد الكسرية نحوّلها أولًا إلى كسور غير فعلية ثم نضرب.
1-4 قسمة الأعداد النسبية
- النظير الضربي لعدد ما هو العدد الذي حاصل ضربه فيه يساوي ١، فالنظير الضربي للكسر 2/3 هو 3/2
- للقسمة على كسر نضرب في نظيره الضربي: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c).
- قواعد إشارة ناتج القسمة هي قواعد الضرب نفسها: الإشارتان المتشابهتان تعطيان ناتجًا موجبًا والمختلفتان ناتجًا سالبًا.
1-5 جمع الأعداد النسبية ذات المقامات المتشابهة وطرحها
- عند جمع كسرين لهما المقام نفسه نجمع البسطين ونُبقي المقام كما هو: a/c + b/c = (a + b)/c
- عند الطرح نطرح البسطين ونُبقي المقام المشترك، ثم نكتب الناتج في أبسط صورة.
- لجمع الأعداد الكسرية نجمع الأجزاء الصحيحة ثم الكسور، أو نحوّلها إلى كسور غير فعلية أولًا.
1-6 جمع الأعداد النسبية ذات المقامات المختلفة وطرحها
- لجمع كسرين مختلفي المقام أو طرحهما نعيد كتابتهما بمقام مشترك، ويُفضَّل استعمال المضاعف المشترك الأصغر للمقامين.
- بعد توحيد المقامات نجمع البسطين أو نطرحهما ونُبقي المقام المشترك، ثم نبسّط الناتج.
- تُطبَّق قواعد جمع الأعداد الصحيحة وطرحها على إشارات الكسور الموجبة والسالبة.
1-7 استراتيجية حل المسألة: البحث عن نمط
- تقوم استراتيجية البحث عن نمط على ملاحظة قاعدة ثابتة تتكرر في سلسلة من الأعداد أو الأشكال.
- بعد اكتشاف النمط نستعمله لتوقع الحدود التالية، ثم نتحقق من صحة القاعدة على الحدود المعطاة.
1-8 القوى والأسس
- القوة تعبير يتكون من أساس وأس، والأس يدل على عدد مرات ضرب الأساس في نفسه، فمثلًا 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
- أي عدد غير الصفر مرفوعًا للأس صفر يساوي ١، أي a⁰ = 1
- الأس السالب يعني النظير الضربي للقوة نفسها بأس موجب: a⁻ⁿ = 1/aⁿ حيث a لا يساوي صفرًا.
1-9 الصيغة العلمية
- الصيغة العلمية طريقة لكتابة الأعداد الكبيرة جدًا أو الصغيرة جدًا على صورة a × 10ⁿ حيث 1 ≤ a < 10 و n عدد صحيح.
- إذا كان الأس موجبًا فالعدد كبير ونحرّك الفاصلة العشرية إلى اليمين، وإذا كان سالبًا فالعدد أصغر من ١ ونحرّكها إلى اليسار.
- لمقارنة عددين مكتوبين بالصيغة العلمية نقارن الأسس أولًا، فإن تساوت قارنّا العاملين a.
مثال محلول
قرأ سعد 2/3 كتاب في الأسبوع الأول و 3/4 كتاب آخر في الأسبوع الثاني. ما مجموع ما قرأه؟
- المضاعف المشترك الأصغر للمقامين ٣ و ٤ هو ١٢
- نعيد كتابة الكسرين: 2/3 = 8/12 و 3/4 = 9/12
- نجمع البسطين: 8/12 + 9/12 = 17/12 = 1 5/12
- تحقق: 17/12 - 3/4 = 17/12 - 9/12 = 8/12 = 2/3 وهو الكسر الأول، إذن الناتج صحيح.
الإجابة: 17/12 أي كتاب واحد و 5/12 كتاب.
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.