ملخص الفصل ٥: الهندسة والاستدلال المكاني
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ١٧٧)
5-1 علاقات الزوايا والمستقيمات
- الزاويتان المتكاملتان مجموع قياسيهما 180°، والزاويتان المتتامتان مجموع قياسيهما 90°، والزاويتان المتقابلتان بالرأس متطابقتان.
- إذا قطع قاطعٌ مستقيمين متوازيين فإن الزوايا المتبادلة داخليًا متطابقة، والمتبادلة خارجيًا متطابقة، والمتناظرة متطابقة.
- المستقيمان المتعامدان يتقاطعان مكوّنين زوايا قائمة قياس كل منها 90°
5-2 استراتيجية حل المسألة: التبرير المنطقي
- في استراتيجية التبرير المنطقي نستقصي عدة أمثلة ونبحث عن نمط لنكوّن تخمينًا، مثل قياس زوايا عدة مثلثات قائمة لنستنتج أن مجموع قياسي الزاويتين الحادتين 90°
- تجربة أمثلة أخرى تدعم صحة التخمين، لكنه يبقى تخمينًا لا برهانًا.
5-3 المضلعات والزوايا
- المضلع شكل مغلق يتكون من ثلاث قطع مستقيمة أو أكثر، والمضلع المنتظم تتطابق جميع أضلاعه وجميع زواياه.
- مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع عدد أضلاعه n يساوي (n - 2) × 180°
- لإيجاد قياس الزاوية الداخلية الواحدة في مضلع منتظم نقسم مجموع قياسات زواياه الداخلية على عدد أضلاعه.
5-4 تطابق المضلعات
- يتطابق مضلعان إذا كان لهما الشكل نفسه والقياسات نفسها، أي أن أضلاعهما المتناظرة وزواياهما المتناظرة متطابقة.
- عند كتابة عبارة التطابق يجب أن تُكتب الرؤوس المتناظرة بالترتيب نفسه.
- يُستعمل التطابق لإيجاد أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا المجهولة في أحد المضلعين.
5-5 التماثل
- يكون للشكل تماثل حول محور إذا أمكن طيّه حول مستقيم فينطبق نصفاه تمامًا، ويسمى المستقيم محور التماثل.
- يكون للشكل تماثل دوراني إذا أمكن تدويره حول نقطة مركزية بزاوية أقل من 360° فينطبق على نفسه، وتسمى الزاوية التي يُدوَّر بها الشكل زاوية الدوران، وقد يكون للشكل أكثر من زاوية دوران.
5-6 الانعكاس
- الانعكاس تحويل هندسي يقلب الشكل حول مستقيم يسمى محور الانعكاس، وتكون الصورة مطابقة للشكل الأصلي.
- عند الانعكاس حول محور السينات تتغير إشارة الإحداثي الصادي: (x, y) تصبح (x, -y)
- عند الانعكاس حول محور الصادات تتغير إشارة الإحداثي السيني: (x, y) تصبح (-x, y)
5-7 الانسحاب
- الانسحاب تحويل هندسي يحرّك كل نقطة في الشكل المسافة نفسها وفي الاتجاه نفسه دون تدوير أو قلب.
- عند الانسحاب a وحدة أفقيًا و b وحدة رأسيًا تصبح النقطة (x, y) هي (x + a, y + b)
- الصورة الناتجة عن الانسحاب مطابقة للشكل الأصلي ولها الاتجاه نفسه.
5-8 الدوران
- الدوران تحويل هندسي يحرّك كل نقطة في الشكل بزاوية محددة واتجاه محدد حول نقطة ثابتة تسمى مركز الدوران.
- يكون اتجاه الدوران مع حركة عقارب الساعة أو عكسها، ويُعدّ الدوران عكس حركة عقارب الساعة ما لم يُذكر غير ذلك.
- عند تدوير نقطة حول نقطة الأصل بزاوية 90° عكس حركة عقارب الساعة تصبح (x, y) هي (-y, x)
مثال محلول
ما مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع سداسي؟ وما قياس الزاوية الداخلية الواحدة إذا كان المضلع منتظمًا؟
- عدد أضلاع المضلع السداسي n = 6
- مجموع قياسات الزوايا الداخلية: (n - 2) × 180° = (6 - 2) × 180° = 4 × 180° = 720°
- في المضلع المنتظم تتساوى الزوايا، فقياس كل زاوية: 720° ÷ 6 = 120°
- تحقق: 6 × 120° = 720°، إذن الناتج صحيح.
الإجابة: مجموع الزوايا الداخلية 720°، وقياس الزاوية الواحدة في السداسي المنتظم 120°.
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.