ملخص الفصل ٧: الاحتمالات

7-1 عد النواتج

• الناتج أحد النتائج الممكنة لتجربة، والحادثة ناتج واحد أو مجموعة من النواتج، وفضاء العينة قائمة بكل النواتج الممكنة.
• الرسم الشجري طريقة منظمة لعرض فضاء العينة وعدّ نواتجه.
• مبدأ العد الأساسي: إذا أمكن حدوث أمر بـ m طريقة وأمر آخر بـ n طريقة، فإن عدد طرق حدوثهما معًا m × n.

راجع صفحة ٦٤ في الكتاب

7-2 احتمال الحوادث المركبة

• الحادثة المركبة تتكون من حادثتين بسيطتين أو أكثر.
• تكون الحادثتان مستقلتين إذا لم يؤثر وقوع إحداهما في احتمال الأخرى، وعندئذ P(A و B) = P(A) × P(B).
• تكون الحادثتان غير مستقلتين إذا أثّر وقوع الأولى في الثانية، كالسحب دون إرجاع، فنضرب احتمال الأولى في احتمال الثانية بعد وقوع الأولى.

راجع صفحة ٦٩ في الكتاب

7-3 الاحتمال النظري والاحتمال التجريبي

• الاحتمال النظري يُحسب مما يجب أن يحدث: عدد النواتج المرغوبة ÷ عدد النواتج الممكنة.
• الاحتمال التجريبي يُحسب من نتائج تجربة فعلية: عدد مرات وقوع الحادثة ÷ عدد المحاولات.
• كلما زاد عدد المحاولات اقترب الاحتمال التجريبي غالبًا من الاحتمال النظري، ويمكن استعماله للتنبؤ.

راجع صفحة ٧٥ في الكتاب

7-4 استراتيجية حل المسألة: تمثيل المسألة

• نمثّل المسألة بأدوات أو بمحاكاة عملية، كقطعة نقد أو مكعب أرقام، لنرى ما قد يحدث فعلًا.
• تساعد المحاكاة على تقدير الاحتمالات في المواقف التي يصعب حسابها مباشرة، ثم نتحقق من معقولية النتيجة.

راجع صفحة ٨١ في الكتاب

7-5 استعمال المعاينة في التنبؤ

• المجتمع هو المجموعة الكاملة المراد دراستها، والعينة جزء منه نستعمله للتنبؤ بخصائصه.
• العينة غير المتحيزة تمثل المجتمع تمثيلًا صحيحًا، مثل العينة العشوائية البسيطة والعينة المنتظمة والعينة الطبقية.
• العينة المتحيزة تفضّل جزءًا من المجتمع، مثل العينة الملائمة وعينة الاستجابة التطوعية، فلا تصلح للتنبؤ الدقيق.

راجع صفحة ٨٣ في الكتاب

مثال محلول

أُلقيت قطعة نقد ومكعب أرقام مرقّم من 1 إلى 6 معًا. ما احتمال ظهور الشعار وعدد زوجي؟

1. الحادثتان مستقلتان، لأن نتيجة قطعة النقد لا تؤثر في نتيجة المكعب.
2. احتمال الشعار 1/2، والأعداد الزوجية 2 و4 و6 فاحتمالها 3/6 = 1/2.
3. P(شعار و زوجي) = 1/2 × 1/2 = 1/4.
4. تحقق: فضاء العينة 2 × 6 = 12 ناتجًا، منها 3 نواتج مرغوبة، و3/12 = 1/4.

الإجابة: الاحتمال ١/٤ أو ٢٥٪.