ملخص الفصل ٢: الأعداد الحقيقية ونظرية فيثاغورس
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ٦١)
2-1 الجذور التربيعية
- الجذر التربيعي لعدد هو أحد عاملين متساويين حاصل ضربهما يساوي ذلك العدد، فالجذر التربيعي للعدد ٤٩ هو ٧ لأن 7 × 7 = 49
- المربعات الكاملة هي مربعات الأعداد الصحيحة، مثل ١ و ٤ و ٩ و ١٦ و ٢٥
- لكل عدد موجب جذران تربيعيان أحدهما موجب والآخر سالب، ويدل الرمز √ على الجذر الموجب فقط، فمثلًا √81 = 9 و -√81 = -9
2-2 تقدير الجذور التربيعية
- لتقدير الجذر التربيعي لعدد ليس مربعًا كاملًا نحصره بين مربعين كاملين متتاليين.
- بما أن 25 < 30 < 36 فإن √30 يقع بين ٥ و ٦، وهو أقرب إلى ٥ لأن ٣٠ أقرب إلى ٢٥
- يمكن تمثيل الجذر المقدَّر على خط الأعداد بين العددين الصحيحين اللذين يحصرانه.
2-3 استراتيجية حل المسألة: استعمال أشكال ڤن
- أشكال فن دوائر متداخلة تُستعمل لتنظيم البيانات وإظهار العلاقات بين المجموعات.
- المنطقة المشتركة بين دائرتين تمثل العناصر التي تنتمي إلى المجموعتين معًا، ويساعد ذلك على تجنّب عدّ العنصر مرتين.
2-4 الأعداد الحقيقية
- العدد غير النسبي عدد لا يمكن كتابته على صورة كسر a/b، وصورته العشرية غير منتهية وغير دورية، مثل √2 و π
- مجموعة الأعداد الحقيقية تتكون من الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية معًا، وتضم الأعداد الكلية والصحيحة.
- الجذر التربيعي لأي عدد ليس مربعًا كاملًا هو عدد غير نسبي، ويمكن مقارنة الأعداد الحقيقية وترتيبها بكتابتها كسورًا عشرية تقريبية.
2-5 نظرية فيثاغورس
- في المثلث القائم الزاوية يسمى الضلع المقابل للزاوية القائمة الوتر، وهو أطول الأضلاع، ويسمى الضلعان الآخران ساقين.
- تنص نظرية فيثاغورس على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الساقين: a² + b² = c²
- عكس نظرية فيثاغورس: إذا تحققت العلاقة a² + b² = c² بين أطوال أضلاع مثلث فإن المثلث قائم الزاوية.
2-6 تطبيقات على نظرية فيثاغورس
- تُستعمل نظرية فيثاغورس لإيجاد أطوال مجهولة في مواقف حياتية مثل طول سلم مسنود إلى جدار أو قطر شاشة.
- لحل المسألة نرسم مثلثًا قائمًا يمثل الموقف، ونحدد الوتر والساقين، ثم نعوض في a² + b² = c² ونوجد الجذر التربيعي.
2-7 هندسة: الأبعاد في المستوى الإحداثي
- لإيجاد المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي نرسم مثلثًا قائمًا وتره القطعة الواصلة بينهما، ثم نطبق نظرية فيثاغورس.
- طولا الساقين هما الفرق بين الإحداثيين السينيين والفرق بين الإحداثيين الصاديين للنقطتين.
- فمثلًا المسافة بين النقطتين (1, 2) و (4, 6) تساوي √(3² + 4²) = √25 = 5 وحدات.
مثال محلول
سُلَّم طوله 13 m يستند إلى جدار رأسي، وتبعد قاعدته عن الجدار 5 m. ما ارتفاع النقطة التي يلامس فيها السلم الجدار؟
- السلم هو الوتر c = 13، والبعد عن الجدار ساق a = 5، والارتفاع المطلوب ساق b.
- نعوض في نظرية فيثاغورس: 5² + b² = 13² أي 25 + b² = 169
- نطرح ٢٥ من الطرفين: b² = 144، إذن b = √144 = 12
- تحقق: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²، إذن الناتج صحيح.
الإجابة: يلامس السلم الجدار على ارتفاع ١٢ مترًا.
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.