ملخص الفصل ٨: القياس: المساحة والحجم
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ٩٣)
8-1 مساحات الأشكال المركبة
- الشكل المركب يتكون من شكلين بسيطين أو أكثر، كالمستطيل والمثلث ونصف الدائرة.
- نجد مساحته بتقسيمه إلى أشكال معروفة، ثم نجمع مساحاتها، أو نطرح مساحة الجزء الناقص من مساحة شكل أكبر.
- نستعمل صيغ المساحة المعروفة مثل A = l × w للمستطيل، وA = 1/2 × b × h للمثلث، وA = πr² للدائرة.
8-2 استراتيجية حل المسألة: حل مسألة أبسط
- نحوّل المسألة المعقدة إلى مسائل أصغر وأبسط، ثم نجمع حلولها للوصول إلى حل المسألة الأصلية.
- تفيد هذه الاستراتيجية في إيجاد مساحات الأشكال الكبيرة بتجزئتها إلى أجزاء سهلة الحساب.
8-3 الأشكال الثلاثية الأبعاد
- المجسم شكل ثلاثي الأبعاد؛ وفي المجسم ذي الأوجه المضلعة تلتقي الأوجه في أحرف، وتلتقي الأحرف في رؤوس.
- المنشور له قاعدتان متطابقتان ومتوازيتان، والهرم له قاعدة واحدة وأوجه جانبية مثلثة تلتقي في رأس، ويُسمّى كل منهما باسم شكل قاعدته.
- يمكن رسم المجسم من مناظير مختلفة: من الأعلى ومن الأمام ومن الجانب.
8-4 حجم المنشور والأسطوانة
- الحجم مقدار ما يشغله المجسم من حيز، ويُقاس بالوحدات المكعبة مثل cm³.
- حجم المنشور يساوي مساحة القاعدة في الارتفاع: V = Bh، وللمنشور الرباعي V = l × w × h.
- حجم الأسطوانة يساوي مساحة قاعدتها الدائرية في ارتفاعها: V = πr²h.
8-5 حجم الهرم والمخروط
- حجم الهرم يساوي ثلث حجم منشور له القاعدة نفسها والارتفاع نفسه: V = 1/3 × B × h.
- حجم المخروط يساوي ثلث حجم الأسطوانة المماثلة: V = 1/3 × πr²h.
- الارتفاع هنا هو البعد العمودي من الرأس إلى مستوى القاعدة، وليس طول الوجه المائل.
8-6 مساحة سطح المنشور والأسطوانة
- مساحة السطح الكلية هي مجموع مساحات جميع أوجه المجسم أو سطوحه.
- مساحة سطح المنشور الرباعي: S = 2lw + 2lh + 2wh.
- مساحة سطح الأسطوانة تساوي مساحة القاعدتين مع المساحة الجانبية: S = 2πr² + 2πrh.
8-7 مساحة سطح الهرم
- الارتفاع الجانبي للهرم المنتظم هو ارتفاع أي وجه من أوجهه الجانبية المثلثة.
- المساحة الجانبية للهرم المنتظم تساوي نصف محيط القاعدة في الارتفاع الجانبي: L = 1/2 × P × l.
- المساحة الكلية تساوي المساحة الجانبية مع مساحة القاعدة: S = L + B.
مثال محلول
خزان ماء على شكل أسطوانة، نصف قطر قاعدتها 3 m وارتفاعها 10 m. أوجد حجمه باستعمال π ≈ 3.14.
- نكتب الصيغة: V = πr²h.
- نعوّض: V = 3.14 × 3² × 10 = 3.14 × 9 × 10.
- نحسب: 3.14 × 90 = 282.6.
- تحقق: مساحة القاعدة 3.14 × 9 = 28.26 m²، وضربها في الارتفاع 10 يعطي 282.6 m³.
الإجابة: حجم الخزان ٢٨٢٫٦ مترًا مكعبًا تقريبًا.
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.