ملخص الفصل ١: المعادلات الخطية
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ١١)
1-1 المعادلات
- الجملة المفتوحة جملة رياضية تحتوي على متغير أو أكثر، ولا نحكم بصحتها أو خطئها إلا بعد التعويض عن المتغير بقيمة.
- المعادلة جملة مفتوحة تحتوي على إشارة المساواة، وحلها هو كل قيمة للمتغير تجعلها صحيحة، وتسمى مجموعة القيم الممكنة للتعويض مجموعة التعويض.
- لتحديد مجموعة الحل نعوّض كل عنصر من مجموعة التعويض في المعادلة، ونحتفظ بالقيم التي تجعل الطرفين متساويين فقط.
1-2 حل المعادلات ذات الخطوة الواحدة
- خاصية الجمع والطرح للمساواة: إذا أضفنا العدد نفسه إلى طرفي معادلة أو طرحناه منهما بقيت المعادلة صحيحة، فمثلًا x - 9 = 4 تعطي x = 13.
- خاصية الضرب والقسمة للمساواة: إذا ضربنا طرفي المعادلة أو قسمناهما على العدد نفسه غير الصفري بقيت المعادلة صحيحة، فمثلًا 5x = 35 تعطي x = 7.
- المعادلتان المتكافئتان لهما الحل نفسه، والهدف في كل خطوة هو عزل المتغير في أحد الطرفين باستعمال العملية العكسية.
1-3 حل المعادلات المتعددة الخطوات
- المعادلة المتعددة الخطوات تحتاج إلى أكثر من عملية لحلها، فنتراجع عن العمليات بعكس ترتيب العمليات: الجمع والطرح أولًا ثم الضرب والقسمة.
- عند حل 2x + 5 = 17 نطرح ٥ من الطرفين فنحصل على 2x = 12، ثم نقسم على ٢ فنجد x = 6.
- الأعداد الصحيحة المتتالية تختلف بمقدار ١، فإذا كان أصغرها n كانت التالية n + 1 و n + 2، والأعداد الزوجية أو الفردية المتتالية تختلف بمقدار ٢.
1-4 حل المعادلات التي تحتوي متغيرًا في طرفيها
- إذا ظهر المتغير في طرفي المعادلة نستعمل خاصية الجمع أو الطرح لنقل الحدود التي تحتوي المتغير إلى طرف واحد، ثم نكمل الحل كالمعتاد.
- إذا وُجدت أقواس نستعمل خاصية التوزيع أولًا لفكها، ثم نجمع الحدود المتشابهة في كل طرف.
- قد لا يكون للمعادلة حل إذا وصلنا إلى عبارة خاطئة مثل 3 = 7، وقد تكون متطابقة صحيحة لكل قيم المتغير إذا وصلنا إلى عبارة صحيحة دائمًا مثل 4 = 4.
1-5 حل المعادلات التي تتضمن القيمة المطلقة
- القيمة المطلقة لعدد هي بعده عن الصفر على خط الأعداد، لذلك فهي لا تكون سالبة أبدًا، فمثلًا |-6| = 6.
- لحل معادلة مثل |x - 2| = 5 نكتب حالتين: x - 2 = 5 أو x - 2 = -5، فيكون الحلان x = 7 أو x = -3.
- إذا كانت القيمة المطلقة تساوي عددًا سالبًا فليس للمعادلة حل، وتكون مجموعة الحل المجموعة الخالية.
مثال محلول
حُلّ المعادلة 5x - 7 = 2x + 11 ثم تحقق من صحة الحل.
- نطرح 2x من الطرفين لجمع المتغير في طرف واحد: 5x - 2x - 7 = 11، أي 3x - 7 = 11.
- نضيف ٧ إلى الطرفين: 3x = 18.
- نقسم الطرفين على ٣: x = 6.
- تحقق: الطرف الأيمن 5(6) - 7 = 30 - 7 = 23، والطرف الأيسر 2(6) + 11 = 12 + 11 = 23، والطرفان متساويان.
الإجابة: x = 6
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.