ملخص الفصل ٨: الدوال التربيعية

أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ١٠٧)

8-1 تمثيل الدوال التربيعية بيانيًّا

الدالة التربيعية صورتها القياسية y = ax² + bx + c حيث a ≠ 0، وتمثيلها البياني منحنى يسمى القطع المكافئ.
محور التماثل هو المستقيم x = -b / (2a)، ويقع عليه الرأس، ونجد الإحداثي y للرأس بتعويض قيمة x في الدالة.
إذا كان a > 0 فالقطع مفتوح لأعلى وللدالة قيمة صغرى عند الرأس، وإذا كان a < 0 فهو مفتوح لأسفل وللدالة قيمة عظمى.

راجع صفحة ١٠٨ في الكتاب

8-2 حل المعادلات التربيعية بيانيًّا

حلول المعادلة ax² + bx + c = 0 تسمى جذورها، وهي أصفار الدالة المرتبطة بها، أي الإحداثيات x لنقاط تقاطع منحناها مع محور x.
للمعادلة التربيعية حلان حقيقيان إذا قطع المنحنى محور x في نقطتين، وحل واحد إذا مسّه عند الرأس، ولا حلول حقيقية إذا لم يقطعه.
عندما لا تكون الجذور أعدادًا صحيحة نقدّرها بتحديد العددين الصحيحين اللذين يقع بينهما كل جذر.

راجع صفحة ١١٨ في الكتاب

8-3 حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

لإكمال المربع في x² + bx نضيف مربع نصف معامل x أي (b/2)²، فتصبح العبارة مربعًا كاملًا: x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)².
لحل معادلة بإكمال المربع نجعل معامل x² يساوي ١، وننقل الحد الثابت للطرف الآخر، ونضيف (b/2)² للطرفين، ثم نأخذ الجذر التربيعي.
مثال: x² + 6x = 7 تصبح x² + 6x + 9 = 16، أي (x + 3)² = 16، فيكون x = 1 أو x = -7.

راجع صفحة ١٢٤ في الكتاب

8-4 حل المعادلات التربيعية باستعمال القانون العام

القانون العام يحل أي معادلة ax² + bx + c = 0 حيث a ≠ 0: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).
المقدار b² - 4ac يسمى المميز: إذا كان موجبًا فللمعادلة حلان حقيقيان، وإذا كان صفرًا فلها حل حقيقي واحد، وإذا كان سالبًا فلا حلول حقيقية لها.
نختار طريقة الحل الأنسب: التحليل إذا كان سهلًا، أو الجذر التربيعي إذا لم يوجد حد x، أو إكمال المربع أو القانون العام في الحالات الأخرى.

راجع صفحة ١٣٠ في الكتاب

مثال محلول

حل المعادلة 2x² - 3x - 5 = 0 باستعمال القانون العام.

نحدد المعاملات: a = 2 و b = -3 و c = -5، ثم نحسب المميز: b² - 4ac = 9 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49.
نعوّض في القانون العام: x = (3 ± √49) / 4 = (3 ± 7) / 4.
إذن x = 10 / 4 = 2.5 أو x = -4 / 4 = -1.
تحقق: عند x = 2.5 نجد 2(6.25) - 7.5 - 5 = 12.5 - 12.5 = 0، وعند x = -1 نجد 2 + 3 - 5 = 0.

الإجابة: x = 2.5 أو x = -1

ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.