ملخص الفصل ٢: العلاقات والدوال الخطية
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ٤٩)
2-1 العلاقات
- العلاقة مجموعة من الأزواج المرتبة، ويمكن تمثيلها بجدول أو بمخطط سهمي أو بتمثيل بياني على المستوى الإحداثي.
- المجال هو مجموعة الإحداثيات السينية (المدخلات) في العلاقة، والمدى هو مجموعة الإحداثيات الصادية (المخرجات).
- المتغير المستقل هو الذي نختار قيمه بحرية، والمتغير التابع هو الذي تعتمد قيمته على المتغير المستقل.
2-2 الدوال
- الدالة علاقة يرتبط فيها كل عنصر من المجال بعنصر واحد فقط من المدى.
- اختبار الخط الرأسي: يمثل المنحنى دالة إذا لم يقطعه أي خط رأسي في أكثر من نقطة واحدة.
- نكتب الدالة بصيغة رمز الدالة مثل f(x) = 2x + 1، ولإيجاد f(3) نعوّض x = 3 فنحصل على 7.
2-3 تمثيل المعادلات الخطية بيانيًا
- المعادلة الخطية تمثيلها البياني خط مستقيم، وصورتها القياسية Ax + By = C حيث A و B و C أعداد صحيحة ليس بينها عامل مشترك أكبر من ١، و A ليست سالبة، و A و B لا تساويان صفرًا معًا.
- المقطع السيني هو الإحداثي السيني لنقطة تقاطع المستقيم مع محور x ونجده بوضع y = 0، والمقطع الصادي نجده بوضع x = 0.
- يمكن تمثيل المعادلة الخطية بإيجاد المقطعين وتعيينهما ثم رسم المستقيم المار بهما، أو بعمل جدول قيم لعدة نقاط.
2-4 حل المعادلات الخطية بيانيًا
- أبسط دالة خطية هي f(x) = x، وتسمى الدالة المولدة (الأم) لمجموعة الدوال الخطية.
- صفر الدالة هو قيمة x التي تجعل f(x) = 0، وهو نفسه المقطع السيني لتمثيلها البياني.
- لحل معادلة خطية بيانيًا نكتبها على الصورة f(x) = 0، ونمثل الدالة، ونقرأ المقطع السيني بوصفه حلًا للمعادلة.
2-5 معدل التغير والميل
- معدل التغير يقارن التغير في المتغير التابع بالتغير في المتغير المستقل، ويكون ثابتًا في الدالة الخطية.
- ميل المستقيم المار بالنقطتين (x1, y1) و (x2, y2) هو m = (y2 - y1) / (x2 - x1) بشرط أن x1 لا تساوي x2.
- الميل الموجب يعني أن المستقيم صاعد، والميل السالب يعني أنه هابط، وميل المستقيم الأفقي صفر، أما المستقيم الرأسي فميله غير معرّف.
2-6 المتتابعات الحسابية كدوال خطية
- المتتابعة الحسابية مجموعة أعداد مرتبة يكون الفرق بين كل حد والحد الذي يليه ثابتًا، ويسمى هذا الفرق أساس المتتابعة d.
- الحد النوني في المتتابعة الحسابية يُعطى بالصيغة an = a1 + (n - 1)d حيث a1 الحد الأول.
- يمكن النظر إلى المتتابعة الحسابية على أنها دالة خطية مجالها رتب الحدود n ومداها قيم الحدود، وميلها يساوي الأساس d.
مثال محلول
أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين (2, 3) و (6, 11)، وبيّن هل المستقيم صاعد أم هابط.
- نكتب صيغة الميل: m = (y2 - y1) / (x2 - x1).
- نعوّض الإحداثيات: m = (11 - 3) / (6 - 2) = 8 / 4.
- نبسّط: m = 2، والميل موجب فالمستقيم صاعد.
- تحقق: بدءًا من (2, 3) إذا تحركنا ٤ وحدات أفقيًا فإن الارتفاع يساوي 2 × 4 = 8 فنصل إلى y = 3 + 8 = 11 عند x = 6، وهي النقطة الثانية.
الإجابة: الميل m = 2، والمستقيم صاعد.
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.