ملخص الفصل ٣: الدوال الخطية

3-1 تمثيل المعادلات المكتوبة بصيغة الميل والمقطع بيانيًا

• صيغة الميل والمقطع للمعادلة الخطية هي y = mx + b، حيث m ميل المستقيم و b مقطعه الصادي.
• لتمثيل y = mx + b بيانيًا نعيّن النقطة (0, b) على محور y، ثم نستعمل الميل (التغير الرأسي على التغير الأفقي) لتعيين نقطة ثانية ونرسم المستقيم.
• المعادلة y = b تمثل مستقيمًا أفقيًا ميله صفر، والمعادلة x = a تمثل مستقيمًا رأسيًا ميله غير معرّف ولا تُكتب بصيغة الميل والمقطع.

راجع صفحة ٩٤ في الكتاب

3-2 كتابة المعادلات بصيغة الميل والمقطع

• إذا عُلم الميل ونقطة على المستقيم نعوّض قيمتي x و y والميل في y = mx + b لإيجاد b، ثم نكتب المعادلة.
• إذا عُلمت نقطتان نحسب الميل منهما أولًا، ثم نعوّض إحدى النقطتين لإيجاد المقطع الصادي.
• تُستعمل المعادلة الخطية نموذجًا لمواقف حياتية، فيمثل الميل معدل التغير الثابت ويمثل المقطع الصادي القيمة الابتدائية، ويمكن بها التنبؤ بقيم جديدة.

راجع صفحة ١٠٠ في الكتاب

3-3 كتابة المعادلات بصيغة الميل ونقطة

• صيغة الميل ونقطة للمستقيم الذي ميله m ويمر بالنقطة (x1, y1) هي y - y1 = m(x - x1).
• يمكن تحويل المعادلة من صيغة الميل ونقطة إلى صيغة الميل والمقطع بفك الأقواس وعزل y.
• يمكن أيضًا تحويلها إلى الصورة القياسية Ax + By = C بنقل الحدود وجعل المعاملات أعدادًا صحيحة و A غير سالبة.

راجع صفحة ١٠٨ في الكتاب

3-4 المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة

• المستقيمات غير الرأسية تكون متوازية إذا كان لها الميل نفسه، وجميع المستقيمات الرأسية متوازية.
• يكون المستقيمان غير الرأسيين متعامدين إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي -1، أي أن كل ميل هو مقلوب الآخر مع تغيير إشارته.
• لكتابة معادلة مستقيم يوازي أو يعامد مستقيمًا معلومًا ويمر بنقطة، نحدد الميل المناسب ثم نستعمل صيغة الميل ونقطة.

راجع صفحة ١١٣ في الكتاب

مثال محلول

اكتب معادلة المستقيم الذي ميله 3 ويمر بالنقطة (2, 5) بصيغة الميل والمقطع.

1. نستعمل صيغة الميل ونقطة: y - y1 = m(x - x1)، فنحصل على y - 5 = 3(x - 2).
2. نوزّع العدد ٣: y - 5 = 3x - 6.
3. نضيف ٥ إلى الطرفين: y = 3x - 1.
4. تحقق: نعوّض x = 2 فنجد y = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5، فالنقطة (2, 5) تقع على المستقيم، والميل معامل x وهو ٣.

الإجابة: y = 3x - 1