ملخص الفصل ٤: المتباينات الخطية

4-1 حل المتباينات بالجمع أو بالطرح

• إضافة العدد نفسه إلى طرفي متباينة أو طرحه منهما لا يغيّر اتجاه إشارة المتباينة، فمثلًا x - 4 > 3 تعطي x > 7.
• نكتب مجموعة الحل بالصفة المميزة مثل {x | x > 7}، ونمثلها على خط الأعداد بدائرة غير مظللة للإشارتين > و <، وبدائرة مظللة للإشارتين ≥ و ≤.
• عبارات مثل «على الأقل» تعني ≥، و«على الأكثر» تعني ≤، و«أكثر من» تعني >، و«أقل من» تعني <.

راجع صفحة ١٢٤ في الكتاب

4-2 حل المتباينات بالضرب أو بالقسمة

• ضرب طرفي المتباينة أو قسمتهما على عدد موجب يُبقي اتجاه الإشارة كما هو.
• ضرب طرفي المتباينة أو قسمتهما على عدد سالب يعكس اتجاه الإشارة، فمثلًا -3x < 12 تصبح x > -4 بعد القسمة على -3.
• نتحقق من الحل بتعويض عدد من مجموعة الحل وعدد من خارجها، فيجب أن يحقق الأول المتباينة وألا يحققها الثاني.

راجع صفحة ١٣٠ في الكتاب

4-3 حل المتباينات المتعددة الخطوات

• نحل المتباينة المتعددة الخطوات بالخطوات نفسها التي نحل بها المعادلة، مع عكس الإشارة عند الضرب أو القسمة على عدد سالب.
• إذا احتوت المتباينة على أقواس نستعمل خاصية التوزيع أولًا، ثم نجمع الحدود المتشابهة وننقل حدود المتغير إلى طرف واحد.
• إذا انتهى الحل إلى عبارة صحيحة دائمًا فمجموعة الحل جميع الأعداد الحقيقية، وإذا انتهى إلى عبارة خاطئة دائمًا فمجموعة الحل هي المجموعة الخالية.

راجع صفحة ١٣٥ في الكتاب

4-4 حل المتباينات المركبة

• المتباينة المركبة متباينتان مرتبطتان بأداة الربط «و» أو بأداة الربط «أو».
• المتباينة المركبة التي تحتوي «و» حلها تقاطع حلّي المتباينتين، أي القيم التي تحقق المتباينتين معًا، مثل 3 ≤ x < 7.
• المتباينة المركبة التي تحتوي «أو» حلها اتحاد حلّي المتباينتين، أي القيم التي تحقق إحداهما على الأقل.

راجع صفحة ١٤٣ في الكتاب

4-5 حل المتباينات التي تتضمن القيمة المطلقة

• المتباينة |x| < a حيث a موجب تعني أن بعد x عن الصفر أقل من a، فتُكتب متباينة مركبة بأداة «و»: -a < x < a.
• المتباينة |x| > a تعني أن بعد x عن الصفر أكبر من a، فتُكتب متباينة مركبة بأداة «أو»: x < -a أو x > a.
• إذا كانت القيمة المطلقة أقل من عدد سالب فلا حل للمتباينة، وإذا كانت أكبر من عدد سالب فجميع الأعداد الحقيقية حلول لها.

راجع صفحة ١٤٨ في الكتاب

مثال محلول

حُلّ المتباينة -2x + 5 ≥ 13، ثم تحقق من الحل.

1. نطرح ٥ من الطرفين: -2x ≥ 8.
2. نقسم الطرفين على -2 ونعكس اتجاه الإشارة لأن القسمة على عدد سالب: x ≤ -4.
3. مجموعة الحل {x | x ≤ -4}، وتمثل على خط الأعداد بدائرة مغلقة عند -4 مع تظليل يسارها.
4. تحقق: عند x = -5 نجد -2(-5) + 5 = 10 + 5 = 15 و 15 ≥ 13 صحيحة، وعند x = 0 نجد 5 ≥ 13 خاطئة، فالحل صحيح.

الإجابة: x ≤ -4