ملخص الفصل ٥: أنظمة المعادلات الخطية

5-1 حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيًا

• نظام المعادلتين الخطيتين معادلتان بالمتغيرين نفسيهما، وحله الزوج المرتب الذي يحقق المعادلتين معًا، وبيانيًا هو نقطة تقاطع المستقيمين.
• إذا تقاطع المستقيمان في نقطة واحدة فللنظام حل وحيد ويسمى متسقًا ومستقلًا، وإذا انطبقا فله عدد لا نهائي من الحلول ويسمى متسقًا وغير مستقل.
• إذا كان المستقيمان متوازيين لا يتقاطعان فليس للنظام حل ويسمى غير متسق.

راجع صفحة ١٥٨ في الكتاب

5-2 حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض

• في طريقة التعويض نحل إحدى المعادلتين بالنسبة لأحد المتغيرين، ثم نعوّض العبارة الناتجة في المعادلة الأخرى فنحصل على معادلة بمتغير واحد.
• بعد إيجاد قيمة المتغير الأول نعوّضها في أي من المعادلتين لإيجاد المتغير الثاني، ونكتب الحل زوجًا مرتبًا.
• إذا أدى التعويض إلى عبارة خاطئة مثل 0 = 5 فلا حل للنظام، وإذا أدى إلى عبارة صحيحة دائمًا مثل 0 = 0 فللنظام عدد لا نهائي من الحلول.

راجع صفحة ١٦٦ في الكتاب

5-3 حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح

• في طريقة الحذف نجمع المعادلتين أو نطرحهما لحذف أحد المتغيرين والحصول على معادلة بمتغير واحد.
• نجمع المعادلتين إذا كان معاملا أحد المتغيرين معكوسين جمعيين مثل 3y و -3y، ونطرحهما إذا كان المعاملان متساويين.
• بعد إيجاد أحد المتغيرين نعوّض قيمته في إحدى المعادلتين الأصليتين لإيجاد الآخر، ثم نتحقق في المعادلتين كلتيهما.

راجع صفحة ١٧١ في الكتاب

5-4 حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الضرب

• إذا لم يكن في النظام معاملات متساوية أو متعاكسة نضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما في أعداد مناسبة لجعل معاملي أحد المتغيرين متساويين أو متعاكسين.
• بعد الضرب نجمع المعادلتين أو نطرحهما لحذف المتغير، ثم نحل المعادلة الناتجة بمتغير واحد.
• نعوّض القيمة الناتجة في إحدى المعادلتين لإيجاد المتغير الآخر، ونكتب الحل زوجًا مرتبًا.

راجع صفحة ١٧٩ في الكتاب

5-5 تطبيقات على النظام المكون من معادلتين خطيتين

• لحل مسألة حياتية بنظام معادلتين نحدد المتغيرين ونكتب معادلتين تعبّران عن معطيات المسألة، ثم نحل النظام ونفسّر الحل في سياقها.
• نختار الطريقة الأنسب: التمثيل البياني للتقدير، والتعويض إذا كان معامل أحد المتغيرين 1 أو -1، والحذف بالجمع أو الطرح أو الضرب حسب المعاملات.
• نتحقق من أن الحل معقول في سياق المسألة، فمثلًا لا يكون عدد الأشياء سالبًا أو كسريًا إذا كانت تُعدّ عدًّا.

راجع صفحة ١٨٥ في الكتاب

مثال محلول

استعمل الحذف لحل النظام: 2x + 3y = 12 و x - y = 1.

1. نضرب المعادلة الثانية في ٣ لجعل معاملي y متعاكسين: 3x - 3y = 3.
2. نجمع المعادلة الناتجة مع المعادلة الأولى: (2x + 3y) + (3x - 3y) = 12 + 3، أي 5x = 15، ومنها x = 3.
3. نعوّض x = 3 في المعادلة x - y = 1: 3 - y = 1، ومنها y = 2.
4. تحقق: 2(3) + 3(2) = 6 + 6 = 12 صحيحة، و 3 - 2 = 1 صحيحة، فالزوج المرتب يحقق المعادلتين.

الإجابة: (3, 2)