ملخص الفصل ٦: كثيرات الحدود
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ١١)
6-1 ضرب وحيدات الحد
- وحيدة الحد عدد أو متغير أو حاصل ضرب عدد في متغير أو أكثر بأسس صحيحة غير سالبة، مثل 5 و x و 3x²y، ولا تحتوي على جمع أو طرح أو قسمة على متغير.
- عند ضرب قوتين لهما الأساس نفسه نجمع الأسس: a^m · a^n = a^(m+n)، فمثلًا x³ · x⁴ = x⁷.
- قوة القوة نضرب فيها الأسس: (a^m)^n = a^(mn)، وقوة حاصل الضرب توزَّع على كل عامل: (ab)^m = a^m b^m.
6-2 قسمة وحيدات الحد
- عند قسمة قوتين لهما الأساس نفسه نطرح الأسس: a^m ÷ a^n = a^(m-n) بشرط a ≠ 0.
- أي عدد غير صفري مرفوع للأس صفر يساوي ١: a⁰ = 1، والأس السالب يعني المقلوب: a^(-n) = 1 / a^n.
- قوة ناتج القسمة توزَّع على البسط والمقام: (a/b)^m = a^m / b^m بشرط b ≠ 0، وتكون العبارة في أبسط صورة إذا لم تحتوِ على أسس سالبة أو أقواس.
6-3 كثيرات الحدود
- كثيرة الحدود وحيدة حد أو مجموع وحيدات حد، وتسمى ثنائية الحد مثل x + 4، وثلاثية الحدود مثل x² + 3x - 2.
- درجة وحيدة الحد هي مجموع أسس متغيراتها، ودرجة كثيرة الحدود هي أكبر درجة بين حدودها.
- تُكتب كثيرة الحدود بالصورة القياسية بترتيب حدودها تنازليًّا حسب الأس، ويسمى معامل الحد الأول المعامل الرئيس.
6-4 جمع كثيرات الحدود وطرحها
- لجمع كثيرات الحدود نجمع الحدود المتشابهة فقط، أي الحدود التي لها المتغيرات نفسها بالأسس نفسها.
- لطرح كثيرة حدود نضيف معكوسها الجمعي، أي نغيّر إشارة كل حد من حدودها ثم نجمع.
- يمكن إجراء الجمع والطرح أفقيًّا بتجميع الحدود المتشابهة، أو رأسيًّا بترتيب الحدود المتشابهة في أعمدة.
6-5 ضرب وحيدة حد في كثيرة حدود
- نضرب وحيدة الحد في كثيرة حدود باستعمال خاصية التوزيع، فنضربها في كل حد على حدة: a(b + c) = ab + ac.
- بعد التوزيع نبسّط العبارة بجمع الحدود المتشابهة، مثل 2x(x - 3) + 4x = 2x² - 2x.
- تُستعمل هذه المهارة لحل معادلات تحتوي على كثيرات حدود في طرفيها بعد تبسيط كل طرف.
6-6 ضرب كثيرات الحدود
- لضرب ثنائيتي حد نوزع كل حد في الأولى على كل حد في الثانية، ومن طرق ذلك طريقة التوزيع بالترتيب: الأول ثم الخارجي ثم الداخلي ثم الأخير.
- عند ضرب كثيرتي حدود أيًّا كان عدد حدودهما يُضرب كل حد من الأولى في كل حد من الثانية ثم تُجمع الحدود المتشابهة.
- يمكن ترتيب عملية الضرب رأسيًّا كما في ضرب الأعداد، أو تمثيلها بنموذج المساحة.
6-7 حالات خاصة من ضرب كثيرات الحدود
- مربع مجموع حدين: (a + b)² = a² + 2ab + b²، أي مربع الأول زائد ضعف حاصل ضربهما زائد مربع الثاني.
- مربع الفرق بين حدين: (a - b)² = a² - 2ab + b².
- ناتج ضرب المجموع في الفرق هو الفرق بين مربعين: (a + b)(a - b) = a² - b².
مثال محلول
أوجد ناتج الضرب (x + 3)(2x - 5) واكتبه بالصورة القياسية.
- نضرب الحدين الأولين: x · 2x = 2x²، ثم الحدين الخارجيين: x · (-5) = -5x.
- نضرب الحدين الداخليين: 3 · 2x = 6x، ثم الحدين الأخيرين: 3 · (-5) = -15.
- نجمع الحدود المتشابهة: 2x² - 5x + 6x - 15 = 2x² + x - 15.
- تحقق: نعوّض x = 1 في الطرفين: (1 + 3)(2 - 5) = 4 · (-3) = -12، و 2 + 1 - 15 = -12، فالناتجان متساويان.
الإجابة: 2x² + x - 15
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.