ملخص الفصل ٧: التحليل والمعادلات التربيعية
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ٦١)
7-1 تحليل وحيدات الحد
- تحليل وحيدة الحد تحليلًا تامًّا يعني كتابتها حاصل ضرب أعداد أولية ومتغيرات أسها ١، مثل 12x²y = 2 · 2 · 3 · x · x · y.
- القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) لوحيدتي حد أو أكثر هو حاصل ضرب العوامل الأولية المشتركة بينها جميعًا.
- إذا كان ق.م.أ لعددين يساوي ١ فإنهما أوليان فيما بينهما.
7-2 استعمال خاصية التوزيع
- نحلل كثيرة الحدود بإخراج القاسم المشترك الأكبر لحدودها عاملًا مشتركًا، وهي خاصية التوزيع معكوسة: 6x² + 9x = 3x(2x + 3).
- كثيرة الحدود ذات الحدود الأربعة يمكن تحليلها بتجميع الحدود في زوجين لكل منهما عامل مشترك، مثل ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y).
- خاصية الضرب الصفري: إذا كان ab = 0 فإن a = 0 أو b = 0، وبها نحل المعادلة بعد تحليلها.
7-3 المعادلات التربيعية: x² + bx + c = 0
- لتحليل x² + bx + c نبحث عن عددين m و p حاصل ضربهما c ومجموعهما b، فيكون التحليل (x + m)(x + p).
- إذا كان c موجبًا فللعددين الإشارة نفسها وهي إشارة b، وإذا كان c سالبًا فإشارتاهما مختلفتان.
- لحل x² + bx + c = 0 نحلل الطرف الأيسر ثم نطبق خاصية الضرب الصفري على كل عامل.
7-4 المعادلات التربيعية: ax² + bx + c = 0
- لتحليل ax² + bx + c حيث a ≠ 1 نبحث عن عددين حاصل ضربهما ac ومجموعهما b، ثم نجزّئ الحد الأوسط ونحلل بالتجميع.
- نبدأ دائمًا بإخراج أي عامل مشترك بين الحدود، فقد تصبح العبارة أسهل في التحليل.
- كثيرة الحدود التي لا يمكن تحليلها على صورة حاصل ضرب كثيرات حدود بمعاملات صحيحة تسمى كثيرة حدود أولية.
7-5 المعادلات التربيعية: الفرق بين مربعين
- الفرق بين مربعين يُحلل إلى حاصل ضرب المجموع في الفرق: a² - b² = (a + b)(a - b).
- قد نحتاج إلى إخراج عامل مشترك أولًا أو تطبيق الفرق بين مربعين أكثر من مرة لنصل إلى التحليل التام، مثل x⁴ - 16 = (x² + 4)(x + 2)(x - 2).
- لحل معادلة مثل x² - 49 = 0 نحللها إلى (x + 7)(x - 7) = 0 فيكون x = 7 أو x = -7.
7-6 المعادلات التربيعية: المربعات الكاملة
- ثلاثية الحدود مربع كامل إذا كان حدها الأول والأخير مربعين كاملين وحدها الأوسط ضعف حاصل ضرب جذريهما، فتُحلل: a² + 2ab + b² = (a + b)².
- خاصية الجذر التربيعي: إذا كان x² = n حيث n ≥ 0 فإن x = ±√n.
- نحل معادلة مثل (x - 3)² = 25 بأخذ الجذر التربيعي للطرفين: x - 3 = ±5، فيكون x = 8 أو x = -2.
مثال محلول
حل المعادلة x² - 5x - 14 = 0 بالتحليل.
- نبحث عن عددين حاصل ضربهما -14 ومجموعهما -5، وهما -7 و 2 لأن (-7)(2) = -14 و -7 + 2 = -5.
- نكتب المعادلة محللة: (x - 7)(x + 2) = 0.
- بخاصية الضرب الصفري: x - 7 = 0 أو x + 2 = 0، إذن x = 7 أو x = -2.
- تحقق: عند x = 7 نجد 49 - 35 - 14 = 0، وعند x = -2 نجد 4 + 10 - 14 = 0.
الإجابة: x = 7 أو x = -2
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.