ملخص الفصل ١٠: الإحصاء والاحتمال
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ١٨٥)
10-1 تصميم دراسة مسحية
- المجتمع هو المجموعة الكاملة التي ندرسها، والعينة جزء منه يُختار لتمثيله، ونجمع البيانات بالدراسة المسحية أو الدراسة القائمة على الملاحظة أو التجربة.
- العينة العشوائية يكون لكل فرد فيها فرصة الاختيار نفسها، ومن أنواعها: البسيطة، والطبقية التي تقسم المجتمع إلى مجموعات متشابهة ثم تختار من كل منها، والمنتظمة التي تختار وفق فترة زمنية أو عددية ثابتة.
- العينة المتحيزة تفضّل جزءًا من المجتمع على غيره، مثل سؤال روّاد مكتبة عن هوايتهم المفضلة، فلا تمثّل المجتمع تمثيلًا صحيحًا.
10-2 تحليل نتائج الدراسة المسحية
- نلخّص البيانات بمقاييس النزعة المركزية: المتوسط الحسابي عند عدم وجود قيم متطرفة، والوسيط عند وجود قيم متطرفة، والمنوال عند وجود قيم متكررة.
- البيانات الكمية قيم عددية يمكن تحليلها إحصائيًّا كالدرجات والكتل، أما البيانات النوعية فلا تأخذ قيمًا عددية كالجنسية أو اللون المفضل.
- لتقويم نتائج دراسة مسحية نتحقق من أن العينة عشوائية وكبيرة وممثلة للمجتمع، وأن مصدر البيانات موثوق، وأن البيانات تدعم الاستنتاجات فعلًا.
10-3 إحصائيات العينة ومعالم المجتمع
- الإحصائي مقياس يصف خاصية في العينة ويتغير من عينة إلى أخرى، أما المَعْلَمة فمقياس يصف خاصية في المجتمع كله وتبقى ثابتة، ونستعمل الإحصائي لتقدير المعلمة.
- مقاييس التشتت تصف انتشار البيانات، ومنها المدى والربيعات والمدى الربيعي، والانحراف المتوسط وهو متوسط القيم المطلقة للفروق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي.
- التباين هو متوسط مربعات الفروق بين القيم والمتوسط الحسابي، والانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين، وكلما صغر دلّ على تقارب البيانات من متوسطها.
10-4 التباديل والتوافيق
- مضروب العدد الصحيح الموجب n هو حاصل ضرب الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى n: n! = n · (n - 1) · ... · 2 · 1، ويُعرَّف 0! = 1.
- التبديل ترتيب يكون فيه الترتيب مهمًّا، وعدد تباديل n من العناصر مأخوذة r في كل مرة هو nPr = n! / (n - r)!.
- التوفيق اختيار لا يهم فيه الترتيب، وعدد التوافيق هو nCr = n! / ((n - r)! r!).
10-5 احتمالات الحوادث المركبة
- الحادثة المركبة تتكون من حادثتين بسيطتين أو أكثر، وتكون الحادثتان مستقلتين إذا لم يؤثر وقوع إحداهما في احتمال الأخرى، وعندها P(A و B) = P(A) · P(B).
- إذا كانت الحادثتان غير مستقلتين فإن P(A و B) = P(A) · P(B بعد وقوع A)، كسحب كرتين دون إرجاع.
- الحادثتان المتنافيتان لا يمكن وقوعهما معًا فيكون P(A أو B) = P(A) + P(B)، وغير المتنافيتين P(A أو B) = P(A) + P(B) - P(A و B).
مثال محلول
يريد معلم اختيار ٣ طلاب من ٨ طلاب لتمثيل الصف في مسابقة، دون أن يهم الترتيب. بكم طريقة يمكنه الاختيار؟
- بما أن الترتيب غير مهم فالمسألة توافيق: n = 8 و r = 3، والقانون 8C3 = 8! / ((8 - 3)! 3!).
- نبسّط: 8! / (5! · 3!) = (8 · 7 · 6) / (3 · 2 · 1) = 336 / 6.
- إذن عدد الطرق 336 / 6 = 56 طريقة.
- تحقق: عدد التباديل 8P3 = 8 · 7 · 6 = 336، وكل مجموعة من ٣ طلاب تظهر فيه 3! = 6 مرات، و 56 · 6 = 336.
الإجابة: 56 طريقة
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.