ملخص الفصل ٩: المعادلات الجذرية والمثلثات
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ١٤١)
9-1 تبسيط العبارات الجذرية
- خاصية الضرب في الجذور التربيعية: √(ab) = √a · √b حيث a ≥ 0 و b ≥ 0، وبها نبسّط الجذر بإخراج المربعات الكاملة، مثل √72 = 6√2.
- خاصية القسمة: √(a/b) = √a / √b حيث a ≥ 0 و b > 0.
- تكون العبارة الجذرية في أبسط صورة إذا لم يبقَ تحت الجذر عامل مربع كامل ولا كسر، ولم يبقَ جذر في المقام، ونتخلص من الجذر في المقام بإنطاقه أو بالضرب في المرافق مثل a - √b للمقام a + √b.
9-2 العمليات على العبارات الجذرية
- نجمع ونطرح الجذور المتشابهة فقط، وهي التي لها ما تحت الجذر نفسه، بجمع معاملاتها: 3√5 + 4√5 = 7√5.
- قد نحتاج إلى تبسيط كل جذر أولًا لنكشف الجذور المتشابهة، مثل √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3.
- نضرب العبارات الجذرية كما نضرب كثيرات الحدود باستعمال خاصية التوزيع، ثم نبسّط الناتج.
9-3 المعادلات الجذرية
- المعادلة الجذرية تحتوي على متغير تحت الجذر، ولحلها نعزل الجذر في أحد الطرفين ثم نربّع الطرفين.
- قد ينتج عن تربيع الطرفين حلول دخيلة لا تحقق المعادلة الأصلية، لذا يجب التحقق من كل حل بالتعويض.
- مثال: √(x + 3) = 5 نربّع الطرفين فيكون x + 3 = 25، أي x = 22، وبالتعويض √25 = 5 صحيح.
9-4 نظرية فيثاغورس
- في المثلث القائم الزاوية يكون مربع طول الوتر مساويًا لمجموع مربعي طولي الساقين: c² = a² + b²، والوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة وهو أطول الأضلاع.
- تُستعمل النظرية لإيجاد طول ضلع مجهول إذا عُلم طولا الضلعين الآخرين.
- عكس النظرية: إذا كان c² = a² + b² لأطوال أضلاع مثلث فهو قائم الزاوية، والأعداد الصحيحة التي تحقق ذلك مثل 3 و 4 و 5 تسمى ثلاثية فيثاغورس.
9-5 المسافة بين نقطتين
- المسافة بين النقطتين (x₁, y₁) و (x₂, y₂) تُحسب بالقانون d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)، وهو مستمد من نظرية فيثاغورس.
- يمكن استعمال قانون المسافة لإيجاد أطوال أضلاع مضلع في المستوى الإحداثي وتصنيفه، كأن نحدد هل المثلث متطابق الضلعين.
- إذا عُلمت المسافة وإحداثيات إحدى النقطتين يمكن إيجاد إحداثي مجهول للنقطة الأخرى بحل معادلة، وقد يكون له قيمتان.
9-6 المثلثات المتشابهة
- يتشابه مثلثان إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة، وعندئذ تكون أطوال أضلاعهما المتناظرة متناسبة.
- نكتب التشابه بترتيب الرؤوس المتناظرة، مثل ABC ∼ DEF، فتكون AB/DE = BC/EF = AC/DF.
- نستعمل التناسب بين الأضلاع المتناظرة لإيجاد أطوال مجهولة، ومنها القياس غير المباشر كحساب ارتفاع شجرة من ظلها.
9-7 النسب المثلثية
- في المثلث القائم الزاوية للزاوية الحادة A ثلاث نسب: الجيب sin A = المقابل / الوتر، وجيب التمام cos A = المجاور / الوتر، والظل tan A = المقابل / المجاور.
- نستعمل النسب المثلثية مع الآلة الحاسبة لإيجاد أطوال أضلاع مجهولة في المثلث القائم إذا عُلم قياس زاوية حادة وطول ضلع.
- إذا عُلم طولا ضلعين أمكن إيجاد قياس الزاوية باستعمال معكوس النسبة المثلثية، وحل المثلث يعني إيجاد قياسات جميع أضلاعه وزواياه.
مثال محلول
أوجد المسافة بين النقطتين A(1, 2) و B(7, 10).
- نحسب الفرقين: x₂ - x₁ = 7 - 1 = 6، و y₂ - y₁ = 10 - 2 = 8.
- نعوّض في قانون المسافة: d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100.
- إذن d = 10 وحدات.
- تحقق: الفرقان 6 و 8 مع المسافة 10 تحقق نظرية فيثاغورس لأن 36 + 64 = 100 = 10².
الإجابة: 10 وحدات
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.