ملخص الفصل ٨: القواسم والمضاعفات
أهم أفكار كل درس في سطور، ومثال محلول، ورقم الصفحة في كتاب الطالب لتعود إليه. افتح الفصل في الكتاب (صفحة ٥٠)
8-1 القواسم المشتركة
- القاسم المشترك هو عدد يكون قاسمًا لعددين أو أكثر، فالأعداد ١، ٢، ٣، ٦ قواسم مشتركة للعددين ٦ و ١٨.
- لإيجاد القواسم المشتركة نكتب جميع قواسم كل عدد ثم نحدد القواسم الموجودة في القوائم كلها، والعدد ١ قاسم مشترك دائمًا.
- القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) هو أكبر قاسم مشترك بين عددين أو أكثر، فمثلًا ق.م.أ للأعداد ١٠ و ١٥ و ٢٠ هو ٥.
8-2 الأعداد الأولية والأعداد غير الأولية
- العدد الأولي له قاسمان فقط هما الواحد والعدد نفسه، مثل ٥ و ٢٣.
- العدد غير الأولي له أكثر من قاسمين، مثل ١٢ الذي قواسمه ١، ٢، ٣، ٤، ٦، ١٢.
- تحليل العدد إلى عوامله الأولية يعني كتابته حاصل ضرب أعداد أولية، ويمكن ذلك بالرسم الشجري، فالعدد ٣٦ يساوي 2 × 2 × 3 × 3.
8-3 الكسور المتكافئة
- الكسور المتكافئة كسور متساوية في القيمة وإن اختلفت أرقامها، مثل 1/3 و 3/9.
- نحصل على كسر مكافئ بضرب البسط والمقام في العدد نفسه، لأن ضرب الكسر في صيغة مكافئة للواحد مثل 2/2 أو 3/3 لا يغيّر قيمته.
- لإيجاد عدد مجهول في كسرين متكافئين نبحث عن العدد الذي ضُرب فيه المقام ثم نضرب البسط فيه أيضًا.
8-4 تبسيط الكسور
- يكون الكسر في أبسط صورة عندما يكون القاسم المشترك الأكبر لبسطه ومقامه هو ١.
- لتبسيط كسر نقسم البسط والمقام على قاسم مشترك ونكرر حتى لا يبقى قاسم مشترك غير ١، أو نقسمهما مباشرة على القاسم المشترك الأكبر.
- قسمة البسط والمقام على العدد نفسه تكافئ القسمة على واحد، لذلك لا تتغير قيمة الكسر بل صورته فقط.
8-5 خطة حل المسألة: البحث عن نمط
- خطة البحث عن نمط تعني ملاحظة كيف تتغير الأعداد من حد إلى الحد الذي يليه، مثل زيادة ثابتة في كل مرة.
- بعد اكتشاف النمط نكمله لإيجاد الحد المطلوب، ونتحقق بالعملية العكسية، فإذا زادت المسافة ٠٫٦ كيلومتر كل يوم نطرحها من الناتج لنعود إلى الحد السابق.
8-6 المضاعفات المشتركة
- مضاعف العدد هو حاصل ضرب ذلك العدد في أي عدد كلي، فمن مضاعفات ٤: ٤، ٨، ١٢، ١٦.
- المضاعف المشترك هو عدد يكون مضاعفًا لعددين أو أكثر، فأول مضاعفين مشتركين للعددين ٨ و ١٢ هما ٢٤ و ٤٨.
- المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) هو أصغر المضاعفات المشتركة لمجموعة من الأعداد، فمثلًا م.م.أ للأعداد ٢ و ٣ و ٤ هو ١٢.
8-7 مقارنة الكسور الاعتيادية
- إذا كان للكسور المقام نفسه نقارن بين بسوطها، فالكسر ذو البسط الأكبر هو الأكبر.
- إذا اختلفت المقامات نكتب كسورًا مكافئة لها مقام مشترك، والمقام المشترك هو عدد من مضاعفات مقامات الكسور.
- نستعمل المقام المشترك الأصغر، وهو المضاعف المشترك الأصغر للمقامات، ثم نقارن بين البسوط.
مثال محلول
اكتب الكسر 12/18 في أبسط صورة.
- اكتب قواسم ١٢: ١، ٢، ٣، ٤، ٦، ١٢، وقواسم ١٨: ١، ٢، ٣، ٦، ٩، ١٨.
- القاسم المشترك الأكبر للعددين هو ٦.
- اقسم البسط والمقام على ٦: 12 ÷ 6 = 2 و 18 ÷ 6 = 3، فيصبح الكسر 2/3.
- تحقق: القاسم المشترك الأكبر للعددين ٢ و ٣ هو ١، و 2 × 6 = 12 و 3 × 6 = 18، إذن الكسران متكافئان والكسر الناتج في أبسط صورة.
الإجابة: أبسط صورة للكسر 12/18 هي 2/3.
ملخص من إعداد هلا سكول، راجعه فيصل عزيز. المرجع الأساسي هو كتاب الطالب؛ ارجع إلى الصفحات المذكورة.